Меню

Электромагнитные колебания переменный ток все формулы

Электромагнитные колебания. Переменный ток.

Электромагнитные волны

Основные формулы и законы

· Связь периода , частоты и циклической частоты колебаний

Период электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре

где – индуктивность катушки, электроёмкость конденсатора.

· Зависимость заряда на пластинах конденсатора, разности потенциалов между ними и силы тока от времени в идеальном контуре:

где – амплитуда заряда, – амплитуда напряжения, – амплитуда силы тока, – начальная фаза колебаний.

· Период электромагнитных колебаний в колебательном контуре при наличии сопротивления

где индуктивность катушки, электроёмкость конденсатора, сопротивление контура.

· Зависимость заряда на пластинах конденсатора, разности потенциалов между ними и силы тока от времени в колебательном контуре при наличии сопротивления (затухающие колебания)

— коэффициент затухания, — начальная фаза колебаний, — разность фаз между током и напряжением в контуре.

Логарифмический декремент затухания

Полное сопротивление цепи переменного тока, содержащей последовательно включённые резистор сопротивлением , катушку индуктивностью и конденсатор электроёмкостью , на концы которой подаётся переменное напряжение

где – активное сопротивление, – реактивное индуктивное сопротивление, – реактивное емкостное сопротивление цепи.

Разность фаз между напряжением и силой тока

Действующие (эффективные) значения силы тока и напряжения

где и – амплитудные значения силы тока и напряжения.

Средняя мощность в цепи переменного тока

Скорость электромагнитной волны в среде

где – скорость электромагнитной волны в вакууме, – диэлектрическая проницаемость среды, – магнитная проницаемость среды.

Длина электромагнитной волны

Плотность энергии электромагнитной волны равна сумме плотностей энергий электрического и магнитного полей

где – электрическая постоянная, Гн/м – магнитная постоянная, — напряжённость электрического поля, — напряжённость магнитного поля.

Связь между мгновенными значениями напряжённостей электрического и магнитного полей электромагнитной волны

Энергия, переносимая волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению распространения волны,

Задания

4.1. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 0,2 мГн и конденсатора, площадь пластин которого 155 и расстояние между ними 1,5 мм. Определите диэлектрическую проницаемость диэлектрика, расположенного между пластинами, если длина волны, соответствующая резонансу в контуре, равна 630 м. [6,1].

4.2. Колебательный контур содержит катушку индуктивности в виде соленоида длиной 5 см, площадью поперечного сечения 1,5 см 2 и числом витков 500. Определите собственную частоту электрических колебаний, если воздушный конденсатор в контуре имеет площадь пластин 100 см 2 , а расстояние между пластинами 1,5 мм. [0,67 . 10 6 Гц]­.

4.3. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 0,1 Гн и конденсатора ёмкостью 39,5 мкФ. Запишите уравнения зависимости силы тока в контуре и напряжения на конденсаторе от времени, если максимальное значение заряда на конденсаторе равно 3 мкКл.

4.4. Максимальное значение энергии в идеальном колебательном контуре равно 0,2 мДж. При медленном увеличении расстояния между пластинами частота колебаний увеличилась в 2 раза. Определите работу, совершённую при перемещении пластин. [0,6 мДж].

4.5. Колебательный контур содержит катушку, индуктивность которой 10 мкГн, и конденсатор ёмкостью 1 нФ. Определите максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку, если общее число витков её равно 100, а максимальное напряжение равно 100 В. [0,1мкВб].

4.6. Через какое время (в долях периода t/T) на конденсаторе идеального колебательного контура заряд будет равен половине амплитудного значения. [t/T=6].

4.7. В идеальном колебательном контуре в начальный момент времени ток равен нулю, а заряд имеет максимальное значение, равное qm . Через какую долю периода, начиная от начального значения, энергия в контуре распределится поровну между катушкой и конденсатором? [T/8].

4.8. Зависимость тока от времени в колебательном контуре задана уравнением: I = -0,02sin(400πt)A. Индуктивность катушки 1Гн. Определите: 1)период колебаний, 2)электроёмкость конденсатора, 3)максимальное напряжение на конденсаторе, 4)максимальную энергию электрического и магнитного полей. [1) 5 . 10 -3 с; 2) 6,3 . 10 -7 Ф; 3) 25,2 В; 4) 0,2 мДж; 0,2 мДж].

4.9. Колебательный контур состоит из катушки, индуктивность которой 0,1 Гн, конденсатора электроёмкостью 0,405 Ф и сопротивления в 2 Ом. Во сколько раз уменьшится напряжение на конденсаторе за время, равное одному периоду колебаний? [в 1,04].

4.10. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 2,22 нФ и катушки из медной проволоки длиной 20 см и радиусом поперечного сечения 0,25 мм. Определите логарифмический декремент затухания колебаний. Удельное сопротивление меди 1,7 . 10 -8 Ом . м. [0,018].

4.11. Колебательный контур имеет конденсатор ёмкостью 1,1 нФ и катушку индуктивностью 5 мГн. Логарифмический декремент затухания равен 0,005. Определите время, в течение которого потеряется 99% энергии в контуре. [6,8 мс].

4.12.Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 0,1мГн, резистор сопротивлением 3 Ом и конденсатор ёмкостью 10 нФ. Определите среднюю мощность, необходимую для поддержания незатухающих колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе 2 В. [0,6мВт].

4.13. В цепь колебательного контура, содержащего катушку индуктивностью 0,2 Гн, конденсатор ёмкостью 40 мкФ и резистор сопротивлением 9,7 Ом подключено внешнее переменное напряжение амплитудой 180 В и циклической частотой 314 рад/с. Определите: 1) амплитудное значение силы тока в цепи, 2) разность фаз между током в контуре и внешним напряжением, 3) амплитудное значение напряжения на катушке, 4) амплитудное значение напряжения на конденсаторе. [1) 9,27 А; 2) — (ток опережает напряжение); 3) 589 В; 4) 738 В].

4.14. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной 0,2 м и диаметром 0,05 м, содержащая 500 витков медного провода площадью поперечного сечения 0,6 . Определите, какая доля полного сопротивления катушки приходится на реактивное сопротивление. Удельное сопротивление меди 17 нОм .м. [40%].

4.15. В цепь переменного тока частотой 50 Гц последовательно включены резистор сопротивлением 100 Ом и конденсатор ёмкостью 22 мкФ. Определите, какая доля напряжения, приложенного к этой цепи, приходится на напряжение на конденсаторе. [0,823].

4.16. Последовательно соединённые резистор сопротивлением 110 Ом и конденсатор подключены к источнику внешнего переменного напряжения с амплитудой 110 В. Амплитудное значение установившегося тока в цепи равно 0,5 А. Определите разность фаз между током в цепи и внешним сопротивлением. [ (ток опережает напряжение)].

4.17. К генератору переменного тока частотой 5 кГц подключён конденсатор ёмкостью 0,15 мкФ. Определите амплитудное напряжение на зажимах генератора, если амплитудное значение тока равно 3,3 А. [0,7 кВ].

4.18. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц последовательно включены резистор сопротивлением 100 Ом, катушка индуктивностью 0,5 Гн и конденсатор ёмкостью 10 мкФ. Определите амплитудные значения: 1) силы тока в цепи, 2) напряжения на активном сопротивлении, 3) напряжения на конденсаторе, 4) напряжения на катушке.

[1) 1,16 А; 2) 116 В; 3) 369 В; 4) 182 В].

4.19. Конденсатор ёмкостью в 1 мкФ и реостат с активным сопротивлением в 3000 Ом включены в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Индуктивность реостата ничтожно мала. Найдите полное сопротивление цепи, если конденсатор и реостат включены: 1)последовательно, 2)параллельно. [1) 4380 Ом; 2) 2180 Ом].

4.20. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно ёмкость 35,4 мкФ, активное сопротивление 100 Ом и индуктивность 0,7 Гн. Найдите силу тока в цепи и падение напряжения на ёмкости, омическом сопротивлении и индуктивности.

4.21. Катушка индуктивностью 22,6 мГн и активное сопротивление включены параллельно в цепь переменного тока частотой 50 Гц. Найдите активное сопротивление, если известно, что сдвиг фаз между напряжением и током равен . [12,3 Ом].

4.22. Активное сопротивление и индуктивность соединены параллельно в цепь переменного тока напряжением 127 В и частотой 50 Гц. Найдите активное сопротивление и индуктивность, если мощность, поглощаемая в этой цепи, равна 404 Вт и сдвиг фаз между напряжением и током равен .

[R=40 Ом, L=0,074 Гн].

4.23. В цепь переменного тока напряжением 220 В включены последовательно ёмкость, активное сопротивление и индуктивность. Найдите падение напряжения UR на омическом сопротивлении, если известно, что падение напряжения на конденсаторе UC=2UR, а падение напряжения на индуктивности UL=3UR. [156 В].

4.24. В вакууме вдоль оси X распространяется плоская электромагнитная волна. Средняя энергия, переносимая через единицу площади поверхности за единицу времени (интенсивность) равна 21,2 мкВт/м 2 . Определите амплитудное значение напряжённости электрического поля волны. [126 мВ/м].

Читайте также:  Ток 10ма сколько ампер

4.25. Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку, отражённый сигнал от которой дошёл до места излучения за 36 мкс. Определите расстояние от локатора до лодки, считая, что диэлектрическая проницаемость воды равна 81. [600 м].

4.26. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна. Определите амплитуду напряжённости магнитного поля волны, если амплитуда напряжённости электрического поля равна 10 В/м. [26,5А/м].

4.27.Электромагнитная волна с частотой 5 МГц переходит из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью 2 в вакуум. Определите приращение её длины волны. [17,6 м].

4.28.После того как между внутренним и внешним проводниками кабеля поместили диэлектрик, скорость распространения электромагнитных волн в кабеле уменьшилась на 63%. Определите диэлектрическую восприимчивость вещества прослойки. [6,3].

4.29.Определите длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд на обкладках конденсатора 50 нКл, а максимальная сила тока в контуре 1,5 А. Активным сопротивлением контура пренебречь. [62,8 м].

4.30.Длина электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая активным сопротивлением контура, определите максимальный заряд на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока в контуре 1 А. [6,37 нКл].

Список используемой литературы

1. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики для втузов. – 3-е изд./ Т.И.Трофимова. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2003. – 384 с.

2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. Изд.3. / В.С. Волькенштейн. – М.: Профессия, 2010. – 328 с.

3. Егорова С.И. Физика. Задания для тестового контроля аудиторной и самостоятельной работы студентов на практических занятиях по общему курсу физики. Часть 2-я: учеб.-метод. пособие / С.И. Егорова, В.С. Ковалёва, В.С. Кунаков, Г.Ф. Лемешко, Ю.М. Наследников. – Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2005.

Содержание

Общие методические указания…………………………………
1. Электростатика…………………………………………………….. Основные формулы и законы……………………………. Задания…………………………………………………………….
Постоянный электрический ток………………………. Основные формулы и законы…………………………… Задания……………………………………………………………
3. Электромагнетизм……………………………………………….. Основные формулы…………………………………………… Задания……………………………………………………………..
4. Электромагнитные колебания. Переменный ток. электромагнитные волны……………………………………………………………………… Основные формулы и законы……………………………. Задания…………………………………………………………….
Список используемой литературы……………………………

Составители: Егорова С.И., Ковалёва В.С.,

Кунаков В.С. и др.

Задания для аудиторных практических занятий

Источник

Электромагнитные колебания переменный ток все формулы

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями .

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими . Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω.

Если частота ω свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника .

Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δ. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока .

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть -цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1):

,

где – амплитуда, ω – круговая частота.

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие квазистационарности. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома:

Величина – это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности .

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде

,

где , и – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами , и . При установившихся вынужденных колебаниях все напряжения изменяются с частотой ω внешнего источника переменного тока. Для наглядного решения уравнения вынужденных колебаний можно использовать метод векторных диаграмм .

На векторной диаграмме колебания определенной заданной частоты ω изображаются с помощью векторов (рис. 2.3.2).

Длины векторов на диаграмме равны амплитудам и колебаний, а наклон к горизонтальной оси определяется фазами колебаний φ1 и φ2. Взаимная ориентация векторов определяется относительным фазовым сдвигом . Вектор, изображающий суммарное колебание, строится на векторной диаграмме по правилу сложения векторов:

Для того, чтобы построить векторную диаграмму напряжений и токов при вынужденных колебаниях в электрической цепи, нужно знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для всех участков цепи.

Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением , конденсатору с емкостью и катушки с индуктивностью . Во всех трех случаях напряжение на резисторе, конденсаторе и катушке равно напряжению источника переменного тока.

1. Резистор в цепи переменного тока

Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю.

Физическая величина называется активным сопротивлением резистора .

2. Конденсатор в цепи переменного тока

Ток опережает по фазе напряжение на угол

Физическая величина называется емкостным сопротивлением конденсатора .

3. Катушка в цепи переменного тока

Ток отстает по фазе от напряжения на угол

Физическая величина называется индуктивным сопротивлением катушки .

Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного -контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через . Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги. Векторная диаграмма для последовательного -контура изображена на рис. 2.3.2.

Векторная диаграмма на рис. 2.3.2 построена для случая, когда или В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.

Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной -цепи называется резонансом напряжений . Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов , и (так называемый резонанс токов ).

При последовательном резонансе () амплитуды и напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:

В § 2.2 было введено понятие добротности -контура:

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Рис. 2.3.4 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности . Кривые на рис. 2.3.3 называются резонансными кривыми .

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.

Источник



Основные формулы и методические рекомендации по решению задач на электромагнитные колебания

Урок 28. Видеоуроки. Решение задач по физике. Электродинамика.

Доступ к видеоуроку ограничен

Конспект урока «Основные формулы и методические рекомендации по решению задач на электромагнитные колебания»

«Все, что казалось трудным нам сначала,

к концу обычно трудным не бывало».

Данная тема посвящена рассмотрению основных формул и методических рекомендаций по решению задач на электромагнитные колебания.

В данном разделе будут рассматриваться случаи, в которых колеблющиеся величины совершают гармонические колебания. Итак, гармонические колебания – это повторяющийся во времени процесс отклонения системы от положения равновесия, при котором не происходят потери энергии, и который подчиняется синусоидальному закону. Соответственно, зависимости от времени таких величин, как напряжение, заряд, сила тока и так далее будут представлять собой синусоиды.

Колебательный контур – это осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока и напряжения.

Читайте также:  Как идет ток в электричке

Следует отметить, что контур, в котором не происходят потери энергии, называется идеальным колебательным контуром или контуром Томсона. В соответствии с определением идеального контура, Томсон вывел формулу, по которой вычисляется период колебаний в таком контуре. В реальных контурах, конечно, существует активное сопротивление, а, значит, происходят потери энергии. Поэтому, без дополнительного поступления энергии, колебания являются затухающими.

Рассмотрим параметры и характеристики этих колебаний.

В электромагнитных колебаниях амплитудой колебаний называется максимальное значение колеблющейся величины. Для примера рассмотрим график, описывающий гармонические колебания. Максимальные значения колеблющейся величины соответствуют пикам синусоиды. Что касается фазы, то это величина, определяющая смещение в любой момент времени (то есть, состояние системы). Если мы обозначим на графике вторую синусоиду, то фазой будет расстояние между двумя ближайшими пиками этих синусоид (хотя, чаще фаза измеряется в радианах).

Периодом колебаний называется время одного полного колебания (то есть, за это время повторяются какие-либо показатели системы). Для примера рассмотрим график, описывающий гармонические колебания. Расстояние между двумя ближайшими пиками синусоиды – это и будет промежуток времени, по прошествии которого повторились показатели системы (в данном случае, это отклонение от положения равновесия). Частота колебаний – это величина, обратная периоду, то есть, число колебаний в единицу времени.

Циклическая частота – это физическая величина, численно равная количеству колебаний за 2p секунд. То есть, это тоже самое, что и частота, только в качестве единиц времени взято 2p (таким образом, циклическая частота измеряется в радианах в секунду).

Собственная частота – это частота колебаний системы при отсутствии сил сопротивления в среде (в случае электромагнитных колебаний это подразумевает отсутствие активного сопротивления).

С электромагнитными колебаниями, конечно, связано понятие переменного тока. Переменный ток с успехом используется в трансформаторах. Трансформатор – это устройство, служащее для преобразования силы инапряжения переменного тока принеизменной частоте. Простейший трансформатор состоит их двух катушек индуктивности, соединённых сердечником. Работа трансформаторов основана на явлении электромагнитной индукции. За счёт неравного количества витков в катушках можно повышать или понижать напряжение, подаваемое на первичную обмотку.

Сведём в таблицу основные формулы электромагнитных колебаний.

Уравнение гармонических колебаний, где q(t) – заряд на конденсаторе, изменяющийся со временем t, – циклическая частота, – фаза колебаний, qm – максимальный (амплитудный) заряд.

Колебание напряжения, где Um – максимальное (амплитудное) напряжение.

Колебание силы тока, где Im – максимальная 9амплитудная) сила тока.

Период колебаний, где L – индуктивность катушки, С – электроёмкость конденсатора

Циклическая частота колебаний

Соотношения между амплитудными значениями заряда, напряжения и силы тока

Действующее значение напряжения и силы тока

Ёмкостное сопротивление конедсатора

Индуктивное сопротивление катушки

Активное сопротивление цепи

Полное сопротивление цепи переменному току, где R – активное сопротивление.

Разность фаз в цепи переменного тока

Активная мощность в цепи переменного тока

Закон Ома для цепи переменного тока, где Z – полное сопротивление цепи переменному току.

Коэффициент трансформации трансформатора, где U1, U2 – напряжение на зажимах обмоток, N1, N2 – количество витков в обмотках, , – ЭДС в обмотках.

Коэффициент полезного действия трансформатора, где P1 – мощность потребителя в первичной цепи, P2 – мощность, выделяемая на нагрузке.

Методические рекомендации по решению задач на применение общих уравнений гармонических колебаний

1. Записать общее уравнение гармонических колебаний.

2. Если в задаче есть заданное уравнение колебаний, сопоставить его с общим уравнением и определить параметры электромагнитных колебаний.

3. Если в задаче даны характеристики электромагнитных колебаний, составить соответствующее уравнение, опираясь на них.

Методические рекомендации по решению задач на ёмкостное, индуктивное и активное сопротивление.

1. При необходимости начертить схему цепи.

2. Использовать формулы для нахождения соответствующего сопротивления.

3. В случае надобности, использовать действующие значения силы тока и напряжения.

4. На основании применённых формул составить систему уравнений и решить её относительно искомых величин.

Методические рекомендации по решению задач на закон Ома для цепей переменного тока.

1. Начертить схему цепи.

2. Использовать формулу для нахождения полного сопротивления.

3. Применить закон Ома для цепей переменного тока.

4. В случае надобности, найти разность фаз.

5. На основании применённых формул составить систему уравнений и решить её относительно искомых величин.

Методические рекомендации по решению задач на трансформаторы.

1. Рассмотреть напряжения или токи в обмотках, мощность нагрузки, рабочий или холостой ход трансформатора.

2. Применить формулу для коэффициента трансформации.

3. В случае надобности воспользоваться законом Ома для замкнутой цепи.

4. При необходимости, применить формулу для КПД трансформатора.

5. На основании применённых формул составить систему уравнений и решить её относительно искомых величин.

Источник

Электромагнитные колебания

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс, гармонические электромагнитные колебания.

Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.

Колебательный контур

Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединёнными конденсатором и катушкой.

Зарядим конденсатор, подключим к нему катушку и замкнём цепь. Начнут происходить свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда на конденсаторе и тока в катушке. Свободными, напомним, эти колебания называются потому, что они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счёт энергии, запасённой в контуре.

Период колебаний в контуре обозначим, как всегда, через . Сопротивление катушки будем считать равным нулю.

Рассмотрим подробно все важные стадии процесса колебаний. Для большей наглядности будем проводить аналогию с колебаниями горизонтального пружинного маятника.

Начальный момент: . Заряд конденсатора равен , ток через катушку отсутствует (рис. 1 ). Конденсатор сейчас начнёт разряжаться.

Несмотря на то, что сопротивление катушки равно нулю, ток не возрастёт мгновенно. Как только ток начнёт увеличиваться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.

Аналогия. Маятник оттянут вправо на величину и в начальный момент отпущен. Начальная скорость маятника равна нулю.

Первая четверть периода : . Конденсатор разряжается, его заряд в данный момент равен . Ток через катушку нарастает (рис. 2 ).

Увеличение тока происходит постепенно: вихревое электрическое поле катушки препятствует нарастанию тока и направлено против тока.

Аналогия . Маятник движется влево к положению равновесия; скорость маятника постепенно увеличивается. Деформация пружины (она же — координата маятника) уменьшается.

Конец первой четверти : . Конденсатор полностью разрядился. Сила тока достигла максимального значения (рис. 3 ). Сейчас начнётся перезарядка конденсатора.

Напряжение на катушке равно нулю, но ток не исчезнет мгновенно. Как только ток начнёт уменьшаться, в катушке возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока.

Аналогия. Маятник проходит положение равновесия. Его скорость достигает максимального значения . Деформация пружины равна нулю.

Вторая четверть: . Конденсатор перезаряжается — на его обкладках появляется заряд противоположного знака по сравнению с тем, что был вначале (рис. 4 ).

Сила тока убывает постепенно: вихревое электрическое поле катушки, поддерживая убывающий ток, сонаправлено с током.

Аналогия. Маятник продолжает двигаться влево — от положения равновесия к правой крайней точке. Скорость его постепенно убывает, деформация пружины увеличивается.

Конец второй четверти . Конденсатор полностью перезарядился, его заряд опять равен (но полярность другая). Сила тока равна нулю (рис. 5 ). Сейчас начнётся обратная перезарядка конденсатора.

Аналогия. Маятник достиг крайней правой точки. Скорость маятника равна нулю. Деформация пружины максимальна и равна .

Третья четверть: . Началась вторая половина периода колебаний; процессы пошли в обратном направлении. Конденсатор разряжается (рис. 6 ).

Аналогия. Маятник двигается обратно: от правой крайней точки к положению равновесия.

Конец третьей четверти: . Конденсатор полностью разрядился. Ток максимален и снова равен , но на сей раз имеет другое направление (рис. 7 ).

Аналогия. Маятник снова проходит положение равновесия с максимальной скоростью , но на сей раз в обратном направлении.

Четвёртая четверть: . Ток убывает, конденсатор заряжается (рис. 8 ).

Аналогия. Маятник продолжает двигаться вправо — от положения равновесия к крайней левой точке.

Конец четвёртой четверти и всего периода: . Обратная перезарядка конденсатора завершена, ток равен нулю (рис. 9 ).

Читайте также:  Преобразователь частоты со звеном постоянного тока не содержит

Данный момент идентичен моменту , а данный рисунок — рисунку 1 . Совершилось одно полное колебание. Сейчас начнётся следующее колебание, в течение которого процессы будут происходить точно так же, как описано выше.

Аналогия. Маятник вернулся в исходное положение.

Рассмотренные электромагнитные колебания являются незатухающими — они будут продолжаться бесконечно долго. Ведь мы предположили, что сопротивление катушки равно нулю!

Точно так же будут незатухающими колебания пружинного маятника при отсутствии трения.

В реальности катушка обладает некоторым сопротивлением. Поэтому колебания в реальном колебательном контуре будут затухающими. Так, спустя одно полное колебание заряд на конденсаторе окажется меньше исходного значения. Со временем колебания и вовсе исчезнут: вся энергия, запасённая изначально в контуре, выделится в виде тепла на сопротивлении катушки и соединительных проводов.

Точно так же будут затухающими колебания реального пружинного маятника: вся энергия маятника постепенно превратится в тепло из-за неизбежного наличия трения.

Энергетические превращения в колебательном контуре

Продолжаем рассматривать незатухающие колебания в контуре, считая сопротивление катушки нулевым. Конденсатор имеет ёмкость , индуктивность катушки равна .

Поскольку тепловых потерь нет, энергия из контура не уходит: она постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

Возьмём момент времени, когда заряд конденсатора максимален и равен , а ток отсутствует. Энергия магнитного поля катушки в этот момент равна нулю. Вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе:

Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен , а конденсатор разряжен. Энергия конденсатора равна нулю. Вся энергия контура запасена в катушке:

В произвольный момент времени, когда заряд конденсатора равен и через катушку течёт ток , энергия контура равна:

Соотношение (1) применяется при решении многих задач.

Электромеханические аналогии

В предыдущем листке про самоиндукцию мы отметили аналогию между индуктивностью и массой. Теперь мы можем установить ещё несколько соответствий между электродинамическими и механическими величинами.

Для пружинного маятника мы имеем соотношение, аналогичное (1) :

Здесь, как вы уже поняли, — жёсткость пружины, — масса маятника, и — текущие значения координаты и скорости маятника, и — их наибольшие значения.

Сопоставляя друг с другом равенства (1) и (2) , мы видим следующие соответствия:

Опираясь на эти электромеханические аналогии, мы можем предвидеть формулу для периода электромагнитных колебаний в колебательном контуре.

В самом деле, период колебаний пружинного маятника, как мы знаем, равен:

B соответствии с аналогиями (5) и (6) заменяем здесь массу на индуктивность , а жёсткость на обратную ёмкость . Получим:

Электромеханические аналогии не подводят: формула (7) даёт верное выражение для периода колебаний в колебательном контуре. Она называется формулой Томсона. Мы вскоре приведём её более строгий вывод.

Гармонический закон колебаний в контуре

Напомним, что колебания называются гармоническими, если колеблющаяся величина меняется со временем по закону синуса или косинуса. Если вы успели забыть эти вещи, обязательно повторите листок «Механические колебания».

Колебания заряда на конденсаторе и силы тока в контуре оказываются гармоническими. Мы сейчас это докажем. Но прежде нам надо установить правила выбора знака для заряда конденсатора и для силы тока — ведь при колебаниях эти величины будут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Сначала мы выбираем положительное направление обхода контура. Выбор роли не играет; пусть это будет направление против часовой стрелки (рис. 10 ).

Рис. 10. Положительное направление обхода

Сила тока считается положительной 0)’ alt='(I > 0)’/> , если ток течёт в положительном направлении. В противном случае сила тока будет отрицательной .

Заряд конденсатора — это заряд той его пластины, на которую течёт положительный ток (т. е. той пластины, на которую указывает стрелка направления обхода). В данном случае — заряд левой пластины конденсатора.

При таком выборе знаков тока и заряда справедливо соотношение: (при ином выборе знаков могло случиться ). Действительно, знаки обеих частей совпадают: если 0′ alt=’I > 0′/> , то заряд левой пластины возрастает, и потому 0′ alt=’\dot > 0′/> .

Величины и меняются со временем, но энергия контура остаётся неизменной:

Стало быть, производная энергии по времени обращается в нуль: . Берём производную по времени от обеих частей соотношения (8) ; не забываем, что слева дифференцируются сложные функции (Если — функция от , то по правилу дифференцирования сложной функции производная от квадрата нашей функции будет равна: ):

Подставляя сюда и , получим:

Но сила тока не является функцией, тождественно равной нулю; поэтому

Перепишем это в виде:

Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида , где . Это доказывает, что заряд конденсатора колеблется по гармоническому закону (т.е. по закону синуса или косинуса). Циклическая частота этих колебаний равна:

Эта величина называется ещё собственной частотой контура; именно с этой частотой в контуре совершаются свободные (или, как ещё говорят, собственные колебания). Период колебаний равен:

Мы снова пришли к формуле Томсона.

Гармоническая зависимость заряда от времени в общем случае имеет вид:

Циклическая частота находится по формуле (10) ; амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.

Мы рассмотрим ситуацию, подробно изученную в начале этого листка. Пусть при заряд конденсатора максимален и равен (как на рис. 1 ); ток в контуре отсутствует. Тогда начальная фаза , так что заряд меняется по закону косинуса с амплитудой :

Найдём закон изменения силы тока. Для этого дифференцируем по времени соотношение (12) , опять-таки не забывая о правиле нахождения производной сложной функции:

Мы видим, что и сила тока меняется по гармоническому закону, на сей раз — по закону синуса:

Амплитуда силы тока равна:

Наличие «минуса» в законе изменения тока (13) понять не сложно. Возьмём, к примеру, интервал времени (рис. 2 ).

Ток течёт в отрицательном направлении: . Поскольку , фаза колебаний находится в первой четверти: . Синус в первой четверти положителен; стало быть, синус в (13) будет положительным на рассматриваемом интервале времени. Поэтому для обеспечения отрицательности тока действительно необходим знак «минус» в формуле (13) .

А теперь посмотрите на рис. 8 . Ток течёт в положительном направлении. Как же работает наш «минус» в этом случае? Разберитесь-ка, в чём тут дело!

Изобразим графики колебаний заряда и тока, т.е. графики функций (12) и (13) . Для наглядности представим эти графики в одних координатных осях (рис. 11 ).

Рис. 11. Графики колебаний заряда и тока

Обратите внимание: нули заряда приходятся на максимумы или минимумы тока; и наоборот, нули тока соответствуют максимумам или минимумам заряда.

Используя формулу приведения

запишем закон изменения тока (13) в виде:

Сопоставляя это выражение с законом изменения заряда , мы видим, что фаза тока, равная , больше фазы заряда на величину . В таком случае говорят, что ток опережает по фазе заряд на ; или сдвиг фаз между током и зарядом равен ; или разность фаз между током и зарядом равна .

Опережение током заряда по фазе на графически проявляется в том, что график тока сдвинут влево на относительно графика заряда. Сила тока достигает, например, своего максимума на четверть периода раньше, чем достигает максимума заряд (а четверть периода как раз и соответствует разности фаз ).

Вынужденные электромагнитные колебания

Как вы помните, вынужденные колебания возникают в системе под действием периодической вынуждающей силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы.

Вынужденные электромагнитные колебания будут совершаться в контуре, поключённом к источнику синусоидального напряжения (рис. 12 ).

Рис. 12. Вынужденные колебания

Если напряжение источника меняется по закону:

то в контуре происходят колебания заряда и тока с циклической частотой (и с периодом, соответственно, ). Источник переменного напряжения как бы «навязывает» контуру свою частоту колебаний, заставляя забыть о собственной частоте .

Амплитуда вынужденных колебаний заряда и тока зависит от частоты : амплитуда тем больше,чем ближе к собственной частоте контура .При наступает резонанс — резкое возрастание амплитуды колебаний. Мы поговорим о резонансе более подробно в следующем листке, посвящённом переменному току.

Источник