Меню

Формула парности касательного напряжения

Закон парности касательных напряжений

Касательные напряжения на соседних, взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и противоположны по знаку.

Касательные напряжения τ принимаются положительными (т.е. τ > 0), если они стремятся повернуть рассматриваемый элемент бруса по ходу часовой стрелки.

Это следует из того условия, что выделенный элемент находиться в статичном состоянии, а для этого сумма моментов касательных напряжений должна быть равна нулю.

То есть напряжения на взаимно перпендикулярных гранях элемента уравновешивают друг друга.

Например, если напряжения на «правой» и «левой» гранях элемента положительны и равны, например, 50 МПа, то соответственно на «верхней» и «нижней» площадках они также будут равны 50 МПа но уже со знаком минус.

Визуально это проверяется так: стрелки касательных напряжений на углах элемента должны либо сходиться, либо расходиться.

Главные напряжения

Главными называют нормальные напряжения на площадках выделенного элемента с нулевыми касательными напряжениями.

Для любого случая нагружения бруса всегда можно найти такое положение мысленно выделенного в нем элементарного объема, на гранях которого касательные напряжения будут отсутствовать (т.е. τ=0).

Площадки (грани элемента) на которых касательные напряжения равны нулю называются главными.

Таким образом, главные – это нормальные напряжения на главных площадках.

Обозначение главных напряжений

Главные напряжения принято обозначать буквой σ с цифрами 1, 2 и 3 в нижнем индексе.

При этом наибольшее с учетом знака напряжение обозначается как σ1 а наименьшее соответственно σ3.

Другими словами, напряжение, расположенное на числовой оси правее других – σ1, а то, которое левее всех σ3.

Например, для случая объемного напряженного состояния:

При плоском напряженном состоянии:

1. Когда оба напряжения растягивающие

2. По одной грани напряжение растягивающее, по другой сжимающее

3. Оба напряжения сжимающие.

При линейном НС единственное напряжение всегда обозначается как σ1.

Читайте также:  Головная боль напряжения как справиться

Пример построения круга Мора по главным напряжениям.

Для построения круга потребуются нормальные и касательные напряжения с двух любых взаимно перпендикулярных площадок (например, правой и верхней) при этом ось σ системы направляется вдоль большего (с учетом знака) из нормальных напряжений.

Известны направления и значения нормальных и касательных напряжений.

Решение

Круг Мора строится в плоской системе координат σ-τ.

Начнем с правой площадки элемента.
Из центра системы координат отложим вдоль оси σ значение соответствующего нормального напряжения σα=80Мпа с учетом его знака.

Из конечной точки отрезка отложим вдоль оси τ значение соответствующего касательного напряжения τα=40МПа так же с учетом знака.

На конце последнего отрезка отметим точку, обозначив ее буквой A.

Аналогично для верхней площадки элемента.

Согласно закона парности касательных напряжений, точки A и B всегда будут расположены по разные стороны от оси σ и равноудалены от нее.

Для главных напряжений (при отсутствии касательных) точки A и B останутся на оси нормальных напряжений.

Полученные точки A и B соединяем отрезком.

На отрезке AB как на диаметре вычерчиваем окружность, с центром в точке пересечения отрезка AB с осью σ системы координат.

Круг Мора построен.

Множество точек полученной окружности показывают величину и знак нормальных и касательных напряжений при соответствующем положении площадок элемента.

Точки пересечения круга Мора с осью σ показывают величину и знаки главных напряжений.

Источник

Закон парности касательных напряжений

date image2014-02-03
views image2781

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

В окрестностях произвольной точки напряженного тела выделим элементарный объём в форме прямоугольного параллепипеда со сторонами dx, dy, dz. На каждой из граней действует по три составляющих напряжения: нормальное напряжение и два касательных (рис.20).

Составим уравнение равновесия выделенного элемента в форме суммы моментов всех сил относительно оси X:

Читайте также:  Тестер напряжения для чего нужен

приведя подобные слагаемые и упростив выражение, получим:

Составляя уравнения равновесия относительно осей Y и Z, получим аналогичные выражения:

Полученные выражения (29), (30) определяют закон парности касательных напряжений: касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены либо к общему ребру, либо от него.

Источник



Закон парности касательных напряжений

Рассмотрим равновесие малого выделенного элемента из твердого деформируемого тела, показанного на рис.4.1. Запишем уравнения равновесия для пространственной системы сил в виде:

Σ М z=0: ,

Σ М х=0: ,

Σ М у=0:

(4.2)

Таким образом, касательные напряжения τ на паре взаимно перпендикулярных площадок равны по величине и направлены к общему ребру или от него. В этом состоит суть закона взаимности или парности касательных напряжений, выражающийся формулами (4.2).

Напряжения на наклонных площадках при объёмном и при плоском напряженных состояниях

Отсечем от элементарного объёма некоторую его часть произвольной наклонной плоскостью. Положение этой плоскости зададим вектором единичной нормали ν (рис.4.4), с направляющими косинусами:

l=cos( x,ˆν)= , m= cos( y,ˆν)= , n= cos( z,ˆν)=

Рассмотрим равновесие полученной элементарной пирамиды. Запишем уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на координатные оси. Так Σ x=0, Σ y=0, Σ z=0 дают следующую систему уравнений:

С учетом значений направляющих косинусов l, m, n получим значения составляющих полного напряжения р ν на наклоной площадке с нормалью ν:

(4.3)

Если наклонная площадка принадлежит поверхности тела, то формулы (4.3) по существу связывают поверхностные нагрузки с компонентами тензора напряжений.

Полное напряжение на наклоной площадке, таким образом, можно определить через его составляющие:

(4.4)

Проектируя составляющие полного напряжения р ν (4.3) на нормаль ν, получим с учетом значений направляющих косинусов и закона парности касательных напряжений (4.2) формулу для определения нормальных напряжений на произвольной наклонной площадке при объемном напряженном состоянии:

Читайте также:  Что такое резонанс напряжений условия резонанса

(4.5)

Теперь можно определить и касательные напряжения на наклонной площадке:

Рассмотрим частный случай плоского напряженного состояния, когда , изображенный на рис.4.5. В этом случае формулы (4.3) примут более простой вид:

, (4.6)

Направляющие косинусы:

Нормальные напряжения на наклонной площадке с нормалью ν будут равны:

(*)

C учетом зависимостей (4.6) формулы (*) можно представить в окончательном виде:

(4.7)

(4.8)

На заштрихованной площадке, для которой β=90+α, значения нормальных и касательных напряжений будут определяться по формулам:

(4.10)

Cкладывая формулы (4.7) и (4.9) получаем:

(4.11)

Формула (4.11) выражает мысль о том, что сумма нормальных напряжений на паре взаимно перпендикулярных площадок есть величина постоянная, а формулы (4.8) и (4.10) ещё раз подтверждают закон парности касательных напряжений.

Главные площадки и главные напряжения при объёмном и плоском напряженном состоянии

При повороте элементарного объёма относительно точки М компоненты тензора напряжений (4.1), как показывают формулы (4.5 – 4.8) , изменяются, т.е., их значения зависят от ориентации элементарного объёма в пространстве. Можно указать такую его ориентацию, при которой на наклонной площадке с внешней нормалью ν касательные напряжения τ y’z’ окажутся равными нулю.

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на них, называются главными напряжениями.

Пусть на исходных площадках действуют компоненты тензора напряжений (рис. 4.4). Найдем при этом положение главных площадок и значения главных напряжений на них.

Предположим, что наклонная площадка с нормалью ν является главной с одним нормальным напряжением σ ν=σ ( i), ( i=1 ,2,3).

Рассматривая в равновесии выделенную пирамиду, т.е., проектируя все силы на оси координат х, у, z получим

Источник