Меню

Главные нормальные напряжения мора

ISopromat.ru

Определить величину, знак и направление главных напряжений с помощью круга Мора по заданным нормальным и касательным напряжениям на гранях элемента.

Нормальные и касательные напряжения на площадках элемента

Пример решения

Предыдущий пункт решения задачи — построение круга Мора

Как было показано ранее, координаты точек пересечения круга Мора с осью напряжений σ показывают величину главных напряжений.

Значение главных напряжений отсекаемых кругом Мора на оси сигма

В данном случае главные напряжения в точке элемента составляют

Численные значения главных напряжений

Для определения направления главных напряжений выполним следующие действия:

Из точки A проводим луч влево, а из точки B вниз до пересечения.

Полюс круга Мора

Точка их пересечения обозначается буквой P и является полюсом круга Мора. Очевидно, она будет располагаться на окружности.

Луч, проведенный из полюса через точку М, показывает направление главного напряжения σ 1.

Направление главного напряжения сигма 1

Так как точка M расположена в области положительных значений σ то по правилу знаков соответствующее главное напряжение будет растягивающим (стрелка напряжения направляется от площадки).

Аналогично, луч [PN) показывает направление главного напряжения на смежной площадке элемента.

Направление главного напряжения сигма 2

Расположение точки N слева от пересечения осей σ — τ указывает на то, что это напряжение сжимающее (стрелка напряжения направлена в сторону площадки).

Покажем полученные напряжения на заданном элементе.

Для наглядности, главные площадки изображаются в пределах заданного элемента.

Положения главных площадок элемента с главными напряжениями

Здесь видно, что в сечении элемента расположенном под углом φ к начальному, касательные напряжения исчезают, а нормальные изменив величину, становятся главными.

Источник



Круг Мора, главные напряжения

Чтобы определить напряжения по наклонным сечениям, можно также воспользоваться графическим методом. Суть метода заключается в следующем: строится система координат; на оси икс откладываются нормальные напряжения, на оси игрек откладываются касательные напряжения. В нашем случае на выбранной площадке действуют только нормальные напряжения σx и σy, причём σy является бОльшим напряжением. Далее откладываются точки с координатами (σx;0) и (σy;0). Далее находится точка посередине между ними и на ней, как на центре, строится окружность диаметром (σy-σx):

Читайте также:  Регулировка переменного напряжения тиристорами

В предыдущем уроке для нахождения напряжений по наклонным сечениям угол альфа брался от оси икс, точнее от напряжения в этом направлении. Здесь же необходимо отложить удвоенный угол, два альфа, и отложить его от точки А в направлении против часовой стрелки. В итоге получится точка на окружности, координаты которой будут представлять из себя нормальное и касательное напряжение, действующее по данной наклонной площадке:

Можно показать, что:

Из построения определим длину OE:

Определим длину DE:

Полученные выражения совпали с формулами, выведенными в предыдущем уроке.

Из построения видно, что касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны по модулю, но противоположны по направлению:

В этом можно убедиться, воспользовавшись формулой:

По аналогии можно получить формулы для нормальных напряжений на площадке +90 градусов:

Данная графическая интерпретация напряжённого состояния в материале называется кругом Мора.

Кругом Мора удобно пользоваться и для решения обратной задачи. Например, рассмотренный ранее случай наддува обшивки фюзеляжа самолёта всегда сопровождается и другими типами нагружения: фюзеляж самолёта изгибается, закручивается и т.д. В итоге к напряжениям от наддува добавляются нормальные и касательные напряжения от изгиба, касательные напряжения от кручения и т.д., что приводит элемент обшивки в следующее напряжённое состояние:

Бывает, что необходимо определить то, на какой угол надо повернуть данный элемент, чтобы по граням элемента действовали только нормальные напряжения. Такие нормальные напряжения, на площадках которых не действует касательных напряжений, будем называть главными. Определим главные напряжения для вышеприведённого элемента, используя круг Мора:

Имея центр в точке C и радиусы CD и CD1, можно достроить окружность:

Условимся обозначать главные напряжения σ1 и σ2, причём σ1 всегда больше σ2.

Из рисунка имеем:

Читайте также:  Lcr t4 esr защита от напряжения

Направление главных напряжений можно получить из рисунка. Известно, что угол DCA есть удвоенный угол между напряжением σ1 и осью икс, и так как 2α измерено от A к D против часовой стрелки, то направление σ1 должно быть следующим (см. рисунок ниже). Это можно проверить, если решать обратную задачу нахождения касательных напряжений по наклонным площадкам.

Для определения числового значения угла из рисунка имеем:

Что касается знака, то он должен быть взят отрицательный, так как он измерен от оси икс по часовой стрелке. Следовательно, получим:

Полученные выше напряжения – главные, и они являются максимальными. Что касается максимальных касательных напряжений, то они определяются величиной радиуса круга:

Источник