Меню

Как построить векторные диаграммы масштаб напряжений

Как построить векторные диаграммы масштаб напряжений

Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения и позволяет легко определить квадрант, в котором находятся определяемые векторы.

При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока (см. лекцию № 8), а к нему под соответствующими углами подстраивать векторы напряжений на отдельных элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принять вектор напряжения (см. лекцию № 8), ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветвях.

Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе.

В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую диаграмму потенциалов для схемы, расчет которой был приведен в лекции № 5 (см. рис. 1).

При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы найденные значения токов (см. лекцию № 5) равны: ; ; .

При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рис. 2). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы . Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней.

Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов (другой вариант построения топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на комплексной плоскости).

При построении топографической диаграммы обход контуров можно производить по направлению тока или против. Чаще используют второй вариант.

В этом случае с учетом того, что в электротехнике принято, что ток течет от большего потенциала к меньшему, потенциал искомой точки равен потенциалу предыдущей плюс падение напряжения на элементе между этими точками. Если на пути обхода встречается источник ЭДС, то потенциал искомой точки будет равен потенциалу предыдущей плюс величина этой ЭДС, если направление обхода совпадает с направлением ЭДС, и минус величина ЭДС, если не совпадает. Это вытекает из того, что напряжение на источнике ЭДС имеет направление, противоположное ЭДС.

Обозначив на схеме по рис. 1 точки между элементами цепи e и a и приняв потенциал точки а за нуль( ), определим потенциалы этих точек:

Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что . Но разность потенциалов точек е и а равно напряжению U, приложенному к цепи, а оно равно 120 В. Таким образом, второй закон Кирхгофа выполняется, а следовательно, вычисления выполнены верно. В соответствии с полученными результатами строится топографическая диаграмма на рис. 2. Следует обратить внимание на ориентацию векторов, составляющих топографическую диаграмму, относительно векторов тока: для резистивных элементов соответствующие векторы параллельны, для индуктивного и емкостных – ортогональны.

В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрической цепи. В этой связи допускается не указывать на топографической диаграмме направления векторов напряжений.

Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или контура соответствует точка на потенциальной диаграмме.

Читайте также:  Основы поляризационно оптического метода исследования напряжений

Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рис. 3.

При параметрах схемы ; ; ; ; и токи в ветвях схемы равны: ; ; .

Построим потенциальную диаграмму для контура abcda.

Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль рассматриваемого контура: после чего определим потенциалы точек контура относительно потенциала произвольно выбранной точки a, потенциал которой принят за нуль:

Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: а(0;0);b(4;-20); c(4;17); d(7;2). С учетом выбранных масштабов на рис. 4 построена потенциальная диаграмма для выбранного контура.

Преобразование линейных электрических схем

Для упрощения расчета и повышения наглядности анализа сложных электрических цепей во многих случаях рационально подвергнуть их предварительному преобразованию. Очевидно, что преобразование должно приводить к упрощению исходной схемы за счет уменьшения числа ее ветвей и (или) узлов. Такое преобразование называется целесообразным. При этом при любых способах преобразований должно выполняться условие неизменности токов в ветвях участков схемы, не затронутых этими преобразованиями. Из последнего вытекает, что, если преобразованию подвергаются участки цепи, не содержащие источников энергии, то мощности в исходной и эквивалентной схемах одинаковы. Если в преобразуемые участки входят источники энергии, то в общем случае мощности в исходной и преобразованной цепях будут различны.

Рассмотрим наиболее важные случаи преобразования электрических цепей.

1. Преобразование последовательно соединенных элементов

Рассмотрим участок цепи на рис. 5,а. При расчете внешней по отношению к этому участку цепи данную ветвь можно свести к виду на рис. 5,б, где

При этом при вычислении эквивалентной ЭДС k-я ЭДС берется со знаком “+”, если ее направление совпадает с направлением эквивалентной ЭДС, и “-”, если не совпадает.

2. Преобразование параллельно соединенных ветвей

Пусть имеем схему на рис. 6,а.

Согласно закону Ома для участка цепи с источником ЭДС

; (3)
, (4)

причем со знаком “+” в (4) записываются ЭДС и ток , если они направлены к тому же узлу, что и ЭДС ; в противном случае они записываются со знаком “-”.

3. Взаимные преобразования “треугольник-звезда”

В ряде случаев могут встретиться схемы, соединения в которых нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному типу (см. рис. 7). В таких случаях преобразования носят более сложный характер: преобразование треугольника в звезду и наоборот.

Преобразовать треугольник в звезду – значит заменить три сопротивления, соединенных в треугольник между какими-то тремя узлами, другими тремя сопротивлениями, соединенными в звезду между теми же точками. При этом на участках схемы, не затронутых этими преобразованиями, токи должны остаться неизменными.

Без вывода запишем формулы эквивалентных преобразований

  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш.шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

  1. Что представляют собой векторные диаграммы?
  2. Что такое топографические диаграммы, для чего они служат?
  3. В чем сходство и различие топографической и потенциальной диаграмм?
  4. Какой практический смысл преобразований электрических цепей?
  5. В чем заключается принцип эквивалентности преобразований?
  6. Построить потенциальные диаграммы для левого и внешнего контуров цепи рис.3.

  • Полагая в цепи на рис. 8 известными ток и параметры всех ее элементов, качественно построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму потенциалов для нее.
  • Определить входное сопротивление цепи на рис. 8, если .

    Определить сопротивления ветвей треугольника, эквивалентного звезде между узлами a,c и d в цепи на рис. 8.

    Определить сопротивления ветвей звезды, эквивалентной треугольнику в цепи на рис. 8, состоящему из элементов , и .

    Источник

    Построение векторных диаграмм

    Наверняка при решении задач по электротехнике многие сталкивались с некоторыми сложностями в построении векторных диаграмм. Начнем с определения векторной диаграммы.

    Векторная диаграмма — это изображение синусоидально изменяющихся величин в виде векторов на плоскости.

    Векторные диаграммы применяют потому, что сложение и вычитание синусоидальных величин, неизбежные при расчете цепей переменного тока, наиболее просто выполняются в векторной форме. Кроме того векторные диаграммы отличаются простотой и наглядностью.

    Построение векторной диаграммы выполняется в прямоугольной плоскости. Чтобы построить диаграмму нужно провести вектор длиною равный амплитудному значению искомой величины, под углом сдвига относительно другой величины. Возможно, вы не сразу поймете смысл сказанного, для этого нужно изучить пример.

    В качестве примера рассмотрим построение векторной диаграммы для цепи, состоящей из последовательно подключенных конденсатора, резистора и катушки. Напряжение на катушке UL=15 В, напряжение на конденсаторе UC=20 В, напряжение на резисторе UR=10 В, ток в цепи I=3 А. Требуется найти общее напряжение.

    Катушка носит индуктивный характер, а значит, в ней напряжение опережает ток по фазе на 90°.

    Конденсатор носит емкостной характер, значит, ток в нем опережает по фазе напряжение на 90°.

    Резистор обладает только активным сопротивлением, и напряжение в нем совпадает по фазе с током.

    Итак, для начала отложим вектор тока в масштабе. Масштаб для тока у нас будет 1 А/см.

    Теперь отложим вектор напряжения на катушке, масштаб для напряжения возьмем 5 В/см, получается, что нужно отложить шесть клеток вверх, так как напряжение в катушке опережает ток. Для наглядности обозначим синим цветом.

    Далее мы будем откладывать вектор активного сопротивления, так как напряжение в одной фазе с током, то мы его откладываем из конца вектора UL параллельно вектору тока I. Обозначим его красным цветом.

    Следующим шагом отложим вектор напряжения на конденсаторе, так как оно запаздывает на 90°, мы его отложим вертикально вниз, из конца вектора U R . Обозначим желтым цветом.

    И последним этапом мы отложим вектор общего напряжения, из начала координат в конец вектора UC и обозначим его зеленым цветом.

    Общее напряжение получилось равным 2,23 В, причем характер цепи емкостной, так как напряжение отстает от тока.

    Аналогичным образом выполняется построение векторной диаграммы токов.

    Источник

    

    Правила построения векторных диаграмм

    Как было выше сказано, совокупность векторов напряжений, токов и ЭДС одной частоты для конкретной электрической цепи называют векторной диаграммой. Векторная диаграмма дает наглядное представление о действующих значениях, начальных фазах и углах сдвига фаз указанных величин. При вращении векторов с одной угловой скоростью w= 2pf их взаимное положение не меняется с течением времени и зависит только от углов сдвига фаз. Это обстоятельство позволяет строить векторные диаграммы для сложных цепей, основываясь на элементарных векторных диаграммах для отдельных R,L,C-элементов, изображенных на рис. 1.7.

    Ниже приведены правила построения векторных диаграмм для исследуемых цепей однофазного и трехфазного синусоидального тока.

    1). Перед построением конкретной векторной диаграммы необходимо вычертить и проанализировать схему замещения, эквивалентную принципиальной электроизмерительной схеме рассматриваемой цепи. (Для каждой лабораторной работе в разделе 3 представлена своя схема замещения). На схеме замещения условно изображают каждый элемент R, L, C данной цепи или параметры этого элемента: активное – R, индуктивное – XL и емкостное – XC сопротивления, наносят буквенные обозначения всех токов и напряжений и показывают стрелками их направления для отдельных участков цепи.

    GВнимание!Стрелки, показывающие направления токов и напряжений на схеме замещения не путать с векторами тех же величин на векторной диаграмме.

    2). Векторные диаграммы напряжений Uk и токов Ij (где k и j – соответственно, текущие индексы векторов напряжений и токов) необходимо чертить в достаточно крупных масштабах, выбрав их самостоятельно, отдельно для напряжений mU и токов mI, то есть число вольт в 1 см для напряжений и число ампер в 1 см для токов:

    где lU,k и lI,j – соответственно, длина k-го вектора напряжения и j-го вектора тока.

    Выбор масштаба производится понаибольшей измеренной или вычисленной величине напряжения и тока, которая в виде соответствующего вектора должна иметь длину в пределах 8 ¸ 12 см на листе тетради или 10 ¸ 15 см на листе бумаги формата А4.

    Пример

    Пусть наибольшая величина напряжения в опыте составляет Umax=160 В, а тока Imax=1,2 А. Если наибольшие величины напряжения и тока разделить на установленные выше пределы вектора 8 ¸ 10 см, то из (1.4), (1.5) получим пределы предполагаемых масштабов для напряжения:

    mU = 160 В/(8¸10 см) = 20¸16 В/см

    mI = 1,2 А/(8¸10см) = 0,15¸0,12 А/см.

    Определенные таким образом пределы масштабов для mU и mI усредняют, выбирая масштабы из основного ряда чисел: 1; 2; 2,5; 4; 5или масштабы, кратные этим числам, умноженным на 10 в положительной или отрицательной степени натурального ряда (1,2,3…), то есть из следующего общего ряда чисел:

    0,01 0,02 0,025 0,04 0,05
    0,1 0,2 0,25 0,4 0,5
    2,5

    (В данном примере общий приведен ряд чисел от 0,01 до 500).

    В нашем примере выбранные масштабы для напряжений и токов составляют
    mU = 20 В/см и mI = 0,1 А/см.

    При этом вектор напряжения Umax=160 В будет иметь длину

    а длина вектора тока Imax=1,2 А:

    Длины остальных векторов определяют аналогично, путем деления соответствующей величины напряжения Uk или тока Ij на выбранный масштаб напряжения или тока:

    3). Направления векторов должны быть указаны стрелками. Каждый вектор напряжения или тока должен иметь соответствующее буквенное обозначение и индекс, такие же, как на эквивалентной схеме замещения.

    При выполнении векторных диаграмм для трехфазных систем векторы токов и напряжений должны иметь обозначения фаз, например: IA, ICA, UB, UBC и т.д. Совпадающие по фазе векторы чертятся рядом расположенными на расстоянии примерно 0,5÷1 мм. Для трехфазных симметричных систем векторы одной фазы должны быть сдвинуты относительно векторов двух других фаз на угол ±120 0 . Для вычерчивания векторов под нужными углами пользуются транспортиром или откладывают на бумаге в клетку определенное число клеток (сантиметров), как показано на рис. 1.7 (общееправило: четыре клетки (или см.) от центра – вниз и из этой нижней точки по 7 клеток (см.) – влево и вправо).

    GВнимание!При неверном сдвиге векторов, отличном от ±120 0 в трехфазной симметричной системе, векторная диаграмма будет построенанеправильно и еепотребуется вычертить заново.

    Обозначения векторов непосредственно на векторной диаграмме или на схеме замещения могут не иметь точек вверху букв. В этом случае будут обозначены не векторы, а сами величины (длины) векторов токов или напряжений.

    4). Первым вектором на векторной диаграмме чертится в выбранном масштабе вектор той величины (напряжения или тока ), которая присутствует на схеме замещения в сравнительно меньшем числе. Этот вектор называется опорным или базовым. Базовый вектор чертится по стандартным направлениям, или горизонтально вправо (чаще всего) или вертикально вверх.

    5). Далее наносятся в выбранных масштабах векторы остальных токов и напряжений для отдельных участков (элементов) цепи. При этом пользуются элементарными векторными диаграммами для активного R, индуктивного XL и емкостного XC сопротивлений, как показано на рис. 1.8

    6). После следует найти результирующие векторы тока и напряжения , пользуясь правилами геометрического сложения этих величин, как показано на рис. Приложении 4.

    Для трехфазных цепей целесообразно строить результирующие векторы в виде непосредственной геометрической разности двух векторов (Приложение 4).

    7). В заключение, на векторной диаграмме следует отложить фазовый угол j между результирующими векторами тока и напряжения. На этом векторная диаграмма для данной цепи считается построенной.

    Рис. 1.7. Правила построения трех векторов на осях А, В, С,
    сдвинутых относительно друг друга на 120 0

    Рис. 1.8. Эквивалентные схемы замещения и элементарные векторные диаграммы
    для отдельных R, L, C-элементов

    а) – для активного сопротивления (резистора) R; б) – для индуктивности L;
    в) – для конденсатора С.

    Источник