Меню

Как сложить два тока

Как сложить два тока

Включим в цепь переменного тока две параллельные ветви, содержащие активные сопротивления и и амперметры и , измеряющие токи и в этих ветвях (рис. 301). Третий амперметр А измеряет ток в неразветвленной цепи. Положим сначала, что оба сопротивления и представляют собой лампочки накаливания или реостаты, индуктивным сопротивлением которых можно пренебречь по сравнению с их активным сопротивлением (рис. 301,а). Тогда, так же как и в случае постоянного тока, мы убедимся в том, что показание амперметра равно сумме показаний амперметров и , т. е. . Если сопротивления и представляют собой реостаты, то, изменяя их сопротивления, мы можем как угодно изменять каждый из токов и , но равенство всегда будет сохраняться. То же будет иметь место и в том случае, если мы заменим оба реостата конденсаторами, т. е. если оба сопротивления будут емкостными (рис. 301,б), или в том случае, если оба сопротивления являются индуктивными, т. е. реостаты заменены катушками с железным сердечником, индуктивное сопротивление которых настолько больше активного, что последним можно пренебречь (рис. 301,в).

Рис. 301. Сопротивления в параллельных ветвях цепи переменного тока одинаковы по своей природе

Таким образом, если сопротивления параллельных ветвей одинаковы по своей природе, то ток в неразветвленной цепи равен сумме токов в отдельных ветвях. Это справедливо, конечно, и в том случае, когда имеются не две ветви, а любое их число.

Заменим теперь в одной из ветвей (рис. 302,а и б) активное сопротивление емкостным (конденсатором) или индуктивным (катушкой с большой индуктивностью и малым активным сопротивлением). Опыт дает в этом случае результат, кажущийся на первый взгляд странным: ток в неразветвленной цепи оказывается меньшим, чем сумма токов в обеих ветвях: . Если, например, ток в одной ветви равен 3 А, а в другой – 4 А, то амперметр в неразветвленной цепи покажет не ток 7 А, как мы ожидали бы, а только ток 5 А, или 3 А, или 2 А и т. д. Ток будет меньше суммы токов и и тогда, когда сопротивление одной ветви емкостное, а другой – индуктивное (рис. 302,в).

Рис. 302. Сопротивления в параллельных ветвях переменного тока различны по своей природе

Таким образом, если сопротивления параллельных ветвей различны по своей природе, то ток в неразветвленной цепи меньше суммы токов в отдельных ветвях.

Чтобы разобраться в этих явлениях, заменим в схемах на рис. 301 и 302 амперметры осциллографами и запишем форму кривой тока в каждой из параллельных ветвей. Оказывается, что токи разной природы в каждой из ветвей не совпадают по фазе ни друг с другом, ни с током в неразветвленной цепи. В частности, ток в цепи с активным сопротивлением опережает по фазе на четверть периода ток в цепи с емкостным сопротивлением и отстает по фазе на четверть периода от тока в цепи с индуктивным сопротивлением.

В этом случае кривые, изображающие форму тока в неразветвленной цепи и в какой-нибудь из ветвей, расположены относительно друг друга так, как кривые 1 и 2 на рис. 294. В общем же случае, в зависимости от соотношения между активным и емкостным (или индуктивным) сопротивлениями каждой из ветвей, сдвиг фаз между током в этой ветви и неразветвленным током может иметь любое значение от нуля до . Следовательно, при смешанном сопротивлении разность фаз между токами в параллельных ветвях цепи может иметь любое значение между нулем и .

Это несовпадение фаз токов в параллельных ветвях с сопротивлениями, различными по своей природе, и является причиной тех явлений, о которых было сказано в начале этого параграфа. Действительно, для мгновенных значений токов, т. е. для тех значений, которые эти токи имеют в один и тот же момент времени, соблюдается известное правило:

Но для амплитуд (или действующих значений) этих токов это правило не соблюдается, потому что результат сложения двух синусоидальных токов или иных двух величин, изменяющихся по закону синуса, зависит от разности фаз между складываемыми величинами.

Читайте также:  Картинки генераторов переменного тока

В самом деле, предположим для простоты, что амплитуды складываемых токов одинаковы, а разность фаз между ними равна нулю. Тогда мгновенное значение суммы двух токов будет равно просто удвоенному значению мгновенного значения одного из складываемых токов, т. е. форма результирующего тока будет представлять собой синусоиду с тем же периодом и фазой, но с удвоенной амплитудой. Если амплитуды складываемых токов различны (рис. 303,а), то сумма их представляет собой синусоиду с амплитудой, равной сумме амплитуд складываемых токов. Это имеет место, когда разность фаз между складываемыми токами равна нулю, например когда сопротивления в обеих параллельных ветвях одинаковы по своей природе.

Рис. 303. Сложение двух синусоидальных переменных токов. Складываемые токи: а) совпадают по фазе ( ); б) противоположны по фазе, т. е. сдвинуты во времени на половину периода ( ); в) сдвинуты во времени на четверть периода ( )

Рассмотрим теперь другой крайний случай, когда складываемые токи, имея равные амплитуды, противоположны по фазе, т. е. разность фаз между ними равна . В этом случае мгновенные значения складываемых токов равны по модулю, но противоположны по направлению. Поэтому их алгебраическая сумма будет постоянно равна нулю. Таким образом, при сдвиге фаз на между токами в обеих ветвях, несмотря на наличие токов в каждой из параллельных ветвей, в неразветвленной цепи тока не будет. Если амплитуды обоих смещенных на токов различны, то мы получим результирующий ток с той же частотой, но с амплитудой, равной разности амплитуд складываемых токов; по фазе этот ток совпадает с током, имеющим большую амплитуду (рис. 303,б). Практически этот случай имеет место тогда, когда в одной из ветвей имеется емкостное, а в другой – индуктивное сопротивление.

В общем случае при сложении двух синусоидальных токов одной и той же частоты со сдвигом фаз мы получаем всегда синусоидальный ток той же частоты с амплитудой, которая в зависимости от разности фаз имеет промежуточное значение между разностью амплитуд складываемых токов и их суммой. Для примера на рис. 303,в показано графическое сложение двух токов с разностью фаз . С помощью циркуля легко убедиться в том, что каждая ордината результирующей кривой действительно представляет собой алгебраическую сумму ординат кривых и с одинаковой абсциссой, т. е. для того же момента времени.

Источник

Сложение и вычитание синусоидальных величин

Для сложения двух синусоидальных величин с помощью синусоид необходимо сложить их ординаты в каждый момент времени.

Для того, чтобы сложить две величины с помощью векторов, необходимо к концу первого вектора добавить второй, не изменяя его величины и направления. Соединив начало первого вектора с концом второго, получим суммарный вектор.

Рисунок 11. Векторная диаграмма напряжений для вариантаXL=XC,уголφ=0, UL=UC

Этот режим называется резонанс напряжений (UL=UC). Напряжения на элементах ULи UC могут значительно превышать входное напряжение.

На векторной диаграмме рис. 9 или рис. 10 можно выделить треугольник, который принято называть треугольникомнапряжения.В этом треугольнике:

где ‑ активная составляющая напряжения;

— реактивная составляющая напряжения.

Поделив модули вектора треугольника напряжений на ток, получим подобный ему треугольник сопротивлений рис. 12.,

Рисунок 12. Треугольник сопротивлений

– активное сопротивление цепи;

— реактивное сопротивление цепи;

— полное сопротивление цепи.

Для варианта XL=XC, угол φ=0, UL=UC. Ток совпадает с напряжением. Цепь имеет активный характер. Полное сопротивление Z=R наименьшее из всех возможных значений XL и XC. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис.11).

Резонанс напряжений— явление возрастания напряжений на реактивных элементах, превышающих напряжение на зажимах цепи при максимальном токе в цепи, которое совпадает по фазе с входным напряжением.

Условия возникновения резонанса:

  1. Последовательное соединение L и C с генератором переменного тока;
  2. Частота генератора должна быть равна частоте собственных колебаний контура , при этом характеристические сопротивления равны;
  3. Сопротивление должно быть меньше, чем 2ρ, так как только в этом случае в цепи возникнут свободные колебания, поддерживаемые внешним источником.
Читайте также:  В каком случае ток не проходит по телу

Полное сопротивление цепи:

так как равны характеристические сопротивления. Следовательно, при резонансе цепь носит чисто активный характер, значит, входное напряжение, и ток в момент резонанса совпадают по фазе. Ток принимает максимальное значение.

При максимальном значении тока напряжения на участках L и C будут большими и равными между собой.

Напряжение на зажимах цепи:

Рассмотрим следующие соотношения:

Q – добротность контура –при резонансе напряжения показывает, во сколько раз напряжение на реактивных элементах больше входного напряжения генератора, питающего цепь. При резонансе коэффициент передачи последовательного колебательного контура

Если добротность равна 100, напряжение на зажимах 1В, то

Uc=Ul=QU=100В,

то есть напряжение на зажимах меньше напряжений на емкости и индуктивности. Это явление называется резонансом напряжений.

При резонансе, коэффициент передачи равен добротности.

Построим векторную диаграмму напряжения.

Напряжение на емкости равно напряжению на индуктивности, следовательно напряжение на сопротивлении равно напряжению на зажимах и совпадает по фазе с током.

В общем случае, когда цепь содержит все три вида сопротивлений (рис. 4,а), сначала определяется реактивное сопротивление этой цепи, а затем уже полное сопротивление цепи.

Рисунок 4. Полное сопротивление цепи содержащей R, L и C.а) — схема цепи; б) — треугольник сопротивлений.

Реактивное сопротивление этой цепи состоит из индуктивного и емкостного сопротивлений. Так как эти два вида реактивного сопротивления противоположны друг другу по своему характеру, то общее реактивное сопротивление цепи будет равно их разности, т. е.

(4)

Общее реактивное сопротивление цепи может иметь индуктивный или емкостный характер, в зависимости от того, какое из этих двух сопротивлений (XL или XC преобладает).

После того как мы по формуле (4) определили общее реактивное сопротивление цепи, определение полного сопротивления не представит затруднений. Полное сопротивление будет равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений, т. е.

(5)

(6)

Способ построения треугольника сопротивлений для этого случая изображен на рис. 4 б.

Полное сопротивление цепи при параллельном соединении активного и реактивного сопротивления

2.3. Последовательное соединение элементов с параметрамиR, L, С

Схема неразветвленной цепи синусоидального тока представлена на рис. 7. Энергетическое состояние цепи описывается для мгновенных значений уравнением:

, ,

Рисунок 7. Схема последовательного соединения элементов цепи

Если то напряжение на входных зажимах будет также изменяться по синусоидальному закону в силу линейности рассматриваемой цепи. После несложных преобразований дифферен­циальное уравнение цепи можно привести к виду:

Это уравнение позволяет построить временную диаграмму, которая полностью отражает амплитудные и фазовые соотношения в последо­вательной цепи. Для практических расчетов применяют векторные диаграммы,которые делают расчет цепи более наглядным и простым.

Под векторной диаграммой цепи понимают совокупность векторов ЭДС, напряжений и токов электрической цепи, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе. Так как чаще при анализе и расчете электрической цепи пользуются действующими значениями токов и напряжений, векторную диаграмму, как графическую интерпретацию расчета цепи, строят также для действующих значений напряжений и токов. При построении векторной диаграммы в качестве исходного вектора удобнее выбрать вектор величин, одинаковой для нескольких элементов цепи. В последовательной цепи (рис. 7) по всем участкам проходит один и тот же ток, поэтому за исходный вектор выбирается вектор тока и относительно его строятся под углом сдвига векторы напряжений на всех участках.

На топографической векторной диаграмме каждая точка соответствует определенной точке электрической цепи. Чтобы осуществить это соответствие точек диаграммы и цепи, построение векторов топографической диаграммы ведут в той же последовательности, в какой обходят электрическую цепь. На рис. 8 показана топографическая диаграмма для цепи рис. 7.

Обход цепи начат от точки «d». При переходе к точке «с» потенциал увеличивается на величину падения напряжения на емкости Вектор этого падения напряжения отстает от вектора тока I на угол 90°. Потенциал точки «в» выше потенциала точки «с» на величину падения напряжения на втором участке, вектор которого опережает по фазе вектор тока на угол 90°. Потенциал точки «а» выше потенциала точки «в» на величину падения напряжения вектор, которого совпадает с вектором тока. Вектор результирующего напряжения расположен между точками «а» и «d».

Читайте также:  Параллельные токи по правилу левой руки

Рисунок 8. Векторная диаграмма токов и напряжений при последовательном соединении элементов цепи

5.3.1 Рекомендации для студента

В неразветвленной цепи протекает ток ;

Для неразветвленной цепи переменного тока с активным, емкостным и индуктивным сопротивлениями справедливы следующие соотношения:

· — напряжение на активном сопротивлении;

· — напряжение на индуктивности;

· — напряжение на емкости;

· — общее напряжение в цепи, знак «+» для цепи, в которойXcменьшеXL, знак «-« для цепи, в которойXcбольшеXL;

Источник



Как сложить два тока

При изучении явлений, происходящих в цепях переменного тока, нам придется часто заниматься сложением и вычитанием синусоидальных величин (токов, напряжений и др.).

Рассмотрим сложение двух синосоидальных величин, заданных уравнениями:

Их сумма будет иметь величину

Произведя необходимые математические преобразования, получим окончательно

Отсюда видно, что суммой двух синусоид одинакового периода является также синусоида с амплитудой Аm и начальной фазой ψ.

Сложение синусоидальных величин проще и нагляднее представить на векторной диаграмме, показанной на рис. 129 слева. Из диаграммы следует:

Величина результирующего вектора Аm, равная геометрической сумме векторов А1m и А2m, составляет:

На рис. 129 справа дано графическое сложение двух синусоид. Любое мгновенное значение результирующей синусоиды равно сумме мгновенных значений слагаемых синусоид для каждого момента времени.

Рис. 129. Сложение двух синусоидальных величин
Рис. 129. Сложение двух синусоидальных величин

Полученные выводы можно применить для сложения трех и больше синусоидальных величин.

Для того чтобы отличить действия с векторами, изображающими синусоидальные величины, мы в дальнейшем будем ставить черту над буквенным обозначением вектора. Например, сложение двух векторов А1 и A2 будем записывать так:

Рассмотрим теперь, как производится вычитание векторных величин. Пусть векторы А1 и А2 изображают какие-то синусоидальные величины и нам нужно из вектора А 1 вычесть вектор А2 (рис. 130). Вычитание векторов всегда можно заменить сложением уменьшаемого вектора с вектором, равным и противоположным вычитаемому вектору, т. е.

Рис. 130. Вычитание векторов
Рис. 130. Вычитание векторов

Источник

СЛОЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

На практике часто приходится складывать синусоидальные токи, напряжения, эдс и другие величины.

Определим переменный ток iкак сумму нескольких переменных токов и сначала аналитически, а затем используя векторный метод.

Рис.64 Схема узла электрической цепи

Аналитический метод. Для аналитического сложения необходимо произвести алгебраическое сложение их мгновенных значений. Из закона Кирхгофа следует, что общий ток

(5-3)

Пусть и

Упростим задачу и положим, что

Тогда

Обозначим .

Тогда в окончательном виде :

(5-4)

Откуда видно, что в результате сложения двух синусоидальных токов результирующий (общий) ток имеет ту же частоту ω, амплитуду равную Im и начальную фазу α.

Векторный метод. Для сложения двух синусоидальных величин, заданных векторами, необходимо произвести геометрическое суммирование этих векторов, пользуясь правилом параллелограмма, т.е.

Рис. 65

Из рис. 65 следует, что при сложении двух векторов, вращающихся с одинаковой частотой ω, результирующий вектор вращается с той же частотой.

Для определения результирующей амплитуды при векторном сложении двух синусоидальных величин, сдвинутых по фазе, необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

( 5-5)

где α2 – α1 = φ –сдвиг фаз между синусоидальными величинами.

Начальную фазу результирующего вектора α определим из соотношения

. (5-6)

Для случая из уравнения (5-5) следует:

Далее определим начальную фазу результирующего вектора

. (5-7)

Таким образом, используя графический метод мы получили тот же самый результат, что и в случае решения задачи аналитическим методом (см. ур. 5-4 ).

Метод комплексных чисел. Комплексы амплитуды первого и второго токов в тригонометрической форме

Комплекс результирующего тока

Откуда мгновенное значение результирующего тока

Источник