Меню

Линейные цепи синусоидального тока это цепь состоящая из

Часть III. Цепи синусоидального тока

Тема 3. Цепи синусоидального тока

  1. Общие сведения и определения
  2. Комплексная амплитуда
  3. Действующие значения синусоидальной функции
  4. Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма
  5. Изображение синусоидальной функции комплексными числами
  6. Закон Ома в комплексной форме
  7. Уравнения элементов в комплексной форме
  • § 3.1. Общие сведения и определения:

Переменный ток имеет большее распространение, чем постоянный.

  • конструкция электродвигателей и генераторов переменного тока гораздо проще;
  • генераторы переменного тока могут быть выполнены для более высокого напряжения;
  • переменный ток легко преобразовывается с помощью трансформатора, что необходимо при распределении электроэнергии и т.д.

Переменный ток – ток, периодически меняющий свое значение и направление. Наибольшее значение переменного тока – его амплитуда.

Переменный ток характеризуется:

  • амплитудой;
  • периодом;
  • частотой;
  • фазой.

Амплитуда – наибольшие (положительные или отрицательные) величины.

Период – время, в течение которого происходит полное колебание тока в проводнике.

Частота – обратно периоду.

Фаза – характеризует состояние переменного тока в любой момент времени.

Основным видом переменного тока является синусоидальный (гармонический) ток. Закон изменения такого тока описывается синусоидальной функцией.

В линейных электрических цепях, в которых действуют синусоидальные источники, все электрические параметры изменяются по синусоидальному закону.

e(t), u(t), i(t) – мгновенные значения;

ω = 2π – угловая частота, [рад/с];

ƒ = 1 Т – циклическая частота, [Гц];

Любую синусоидальную функцию можно изобразить в виде графика, который называется графиком временных значений или временной диаграммой.

120

  • § 3.2. Комплексная амплитуда:

Расчет цепей синусоидального тока с использованием мгновенных значений требует громоздкой вычислительной работы и применим для простейших электрических цепей.

Для расчета цепей синусоидального тока синусоидальную функцию заменяют эквивалентной величиной.

где j = √ — 1 – мнимая единица.

– сопряженная комплексная амплитуда.

Последняя запись означает, что синусоидальное напряжение можно представить на комплексной плоскости в виде двух векторов, длина которых равна Um и которые равномерно вращаются со скоростями, равными ω в противоположные стороны.

  • § 3.3. Действующие значения синусоидальной функции:

Действующее значение синусоидальной функции – ее количественная оценка.

Действующие значения – среднеквадратичные за период значения синусоидальной функции, то есть, если:

то действующее значение:

Аналогично и для тока I и ЭДС ε .

Часто используются выражения, связывающие между собой амплитуду и действующее значение:

Действующее значение – это постоянная величина, которую обычно обозначают той же буквой, что и амплитуду, только без индекса m.

Действующее значение тока оказывает такое же тепловое действие на проводник с сопротивлением R , что и переменный ток, в течение времени, равном периоду. Поэтому большинство электроизмерительных приборов фиксируют и реагируют на действующие значения.

  • § 3.4. Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма:

где a – проекция вектора на ось y в момент времени t.

133

рис. а рис. б

Любому равномерно вращающемуся радиус-вектору соответствует некоторая синусоидальная функция, и наоборот.

Посмотрим, как условный графический образ синусоидальной функции – радиус-вектор – может быть применим при расчетах цепей переменного тока. Определим ток:

Как известно, сумма двух синусоид одинаковой частоты ω представляет собой также синусоиду частотой ω , то есть i = Imsin (ωt + ψ ) и, следовательно, задача сводится к нахождению амплитуды Im и начальной фазы Ψ суммарного тока i. Искомые параметры Im и Ψ можно найти, воспользовавшись известными тригонометрическими преобразованиями.

Проведем решение задачи с помощью радиус-векторов I1m и I2m , вращающихся с частотой ω, положение которых для момента времени t = 0 показаны на рисунке ниже и осуществим геометрическое суммирование этих радиус-векторов по правилу параллелограмма. Результирующий радиус-вектор Im будет вращаться с частотой ω и является изображением некоторой синусоидальной функцией времени.

Следовательно, i = i1 + i2 – геометрическое изображение искомого тока.

138

Измерив дугу суммарного радиус-вектора и, зная выбранный масштаб, можно определить амплитуду Im тока. Непосредственно по чертежу определяется и начальная фаза Ψ.

Рассмотренная совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой.

  • § 3.5. Изображение синусоидальной функции комплексными числами:

140Для введения комплексного изображения перенесем радиус-вектор, изображающий синусоидальную функцию времени в декартовой плоскости на плоскость комплексных чисел. Для чего совместим ось x с осью действительных чисел Re, а ось y – с Im.

Любому вектору A, расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трех формах:

  • алгебраической:
  • тригонометрической:
  • показательной: ( e – основание натурального логарифма).

Все три формы записи в соответствии с формулой Эйлера равнозначны:

Переход от одной формы записи к другой:

где a1 – действительная часть;

Запишем в трех формах выражение для единичных действительных и мнимых комплексных чисел ( A = 1 ):

где C = AB .

Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока называется комплексным сопротивлением:

Модуль комплексного сопротивления, называемый полным сопротивлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока, а аргумент Ψ комплексного сопротивления – разности начальных фаз напряжения и тока:

Закон Ома в комплексной форме соответственно для амплитудных и действительных значений:

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Источник

Элементы и параметры цепей синусоидального тока.

Лекция 2.

Линейные электрические однофазные цепи переменного (синусоидального) тока.

Преимущества переменного тока. Основные понятия.

Под переменным током подразумевается электрический ток, изменяющийся в течение времени по значению и направлению за равные промежутки времени.

Ведя речь о переменном токе, обычно имеют в виду синусоидальный ток, т.е. ток, изменяющийся по синусоидальному закону и проходящий в замкнутой цепи под действием синусоидальной ЭДС.

К преимуществам переменного тока следует отнести следующие:

1. Проще (с помощью трансформатора) изменять рабочее напряжение.

2. Возможность получения источников электрической энергии большой мощности.

3. Возможность повышения КПД при передаче электроэнергии на большие расстояния за счёт повышения напряжения ЛЭП.

4. Двигатели переменного тока (в частности, асинхронные двигатели, в которых отсутствуют движущиеся электрические контакты) проще и дешевле двигателей постоянного тока.

Величины, характеризующие синусоидальный ток:

1. Амплитуда – максимальное значение периодически изменяющейся величины Еm, Um, Im.

2. Наименьший интервал времени, по истечении которого мгновенные значения периодического электрического тока повторяются, называется периодом или циклом. Период обозначается буквой Т.

Рис. 2.1 Кривая синусоидального

3. Частота – число циклов в единицу времени (в секунду). Единицей частоты служит Герц, равный одному периоду в одну секунду.

4. Угловая частота (угловая скорость) – характеризуется углом поворота в единицу времени.

За время одного цикла рамка повернётся на угол 360 о =2p. Следовательно, угловую частоту можно выразить следующим образом:

Для частоты f = 50Гц, w=314 с -1 =314 рад/с

5. Мгновенное значение – это значение переменной величины в любой конкретный момент времени t1 и обозначается малыми буквами e, i, u т.е.

т.е. синусоидальная величина характеризуется амплитудой, угловой частотой и начальной фазой y.

6. Среднее значение переменного тока и напряжения и ЭДС.

За среднее значение синусоидального тока можно принять такое значение постоянного тока, при котором за полпериода (Т/2) поставляется такое же количество электричества, что и при синусоидальном токе.

Читайте также:  Ваши действия если человека ударило током

Рис. 2.2 Среднее значение тока.

Среднее значение переменного тока за период равно нулю.

Средние значения электрических величин важны при рассмотрении пульсирующих токов.

7. Действующие (эффективные) значения переменного тока, напряжения и ЭДС.

Действующее значение переменного тока I равно величине такого постоянного тока, которая за время, равное одному циклу переменного тока T, выделит в том же сопротивлении R такое же количество тепла, что и переменный ток i.

Количество тепла, выделенное переменным током в проводнике в течение периода

Такое же количество тепла может быть получено и в том случае, если в проводнике будет протекать постоянный ток.

Количество тепла, выделенное постоянным током I в сопротивлении R за период Т:

Следовательно, действующее значение синусоидального тока (напряжения, ЭДС) меньше своей амплитуды в раз:

Все электроизмерительные приборы переменного тока (кроме электронных) показывают действующие значения электрических величин.

Стандартные напряжения U=127В или U=220B выражают действующие значения этих напряжений. Однако, изоляцию электротехнических и других устройств следует рассчитывать, исходя из знаний амплитудных значений этих напряжений:

Поэтому в настоящее время для сверхдальних передач стремятся применять постоянный ток высокого напряжения.

Элементы и параметры цепей синусоидального тока.

Электрическая цепь синусоидального тока содержит кроме электротехнических устройств, назначение которых совпадает с назначением устройств цепи постоянного тока (источники энергии, измерительные приборы, коммутационные аппараты и т.д.), также устройства, присущие только цепям синусоидального тока: трансформаторы, конденсаторы, катушки индуктивности и др.

Для расчёта режима работы электротехнических устройств необходимо перейти от принципиальной электрической схемы к её схеме замещения.

Элементами схем замещения цепей синусоидального тока являются источники синусоидального тока и ЭДС, резистивные элементы (R), индуктивные (L) и емкостные (С) элементы.

Источники ЭДС, а также резистивные элементы были рассмотрены при анализе цепей постоянного тока. Индуктивные и емкостные элементы являются специфическими элементами цепей синусоидального тока, подлежащие исследованию.

Если параметры элементов не зависят от тока и приложенного к ним напряжения, то это линейные элементы. В противном случае элементы следует считать нелинейными.

При анализе работы и расчётах цепей переменного тока исходят из того, что для мгновенных значений переменного тока можно использовать все правила и законы постоянного тока (что было рассмотрено в первой главе).

Источник



Лекция № 2 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

1.Основные параметры, характеризующие синусоидальные токи, напряжения и ЭДС

2. Идеальные резистивный, индуктивный и емкостный элементы в цепях синусоидального тока

1. Основные параметры, характеризующие синусоидальные токи, напряжения и ЭДС

Токи, напряжения и ЭДС, значения которых периодически изменяются во времени по синусоидальному закону, называют синусоидальными (гармоническими).

По сравнению с постоянным током синусоидальный имеет ряд преимуществ:

производство, передача и использование электрической энергии наиболее экономичны при синусоидальном токе;

в цепях синусоидального тока относительно просто преобразовывать форму напряжения, а также создавать трехфазные системы напряжения.

В зависимости от типа решаемой задачи синусоидальные величины представляют:

— в виде аналитических выражений;
— графически, посредством временной или векторной диаграмм;

Аналитическое представление синусоидальных величин

Синусоидальные ЭДС, напряжение и ток можно задать с помощью вещественных функций времени (в виде аналитических выражений):

где е, u, i — соответственно мгновенные значения ЭДС, напряжения, тока;
— аргументы (фазы) синусоидальных

Для расчета электрических цепей аналитические выражения синусоидальных величин неудобны, т. к. алгебраические действия (сложение, вычитание, умножение и т. д.) с тригонометрическими функциями приводят к громоздким вычислениям.

Временная диаграмма

Графическое представление синусоидальных величин в виде временной диаграммы достаточно наглядно,

I2

но из-за сложности построения синусоид и операций с ними применяется сравнительно редко.

При построении временной диаграммы за аргумент синусоидальной функции, например, напряжения u(t) принимают время t или угол ωt .

Однако для большей наглядности угол φu часто выражают в градусах. Тогда аргумент ωt также переводят в градусы (напомним, что 1 рад » 57,3°). В этом случае период составляет 360°.

Основные параметры синусоидальных величин

Для характеристики синусоидальных функций времени используют следующие параметры:

— Мгновенное значение;
— Амплитуда;
— Период;
— Частота;
— Фаза;
— Начальная фаза;
— Угловая частота;
— Сдвиг фаз;
— Среднее значение гармонической функции;
— Действующее значение гармонической функции.

Цепь с активным сопротивлением

Элементы, обладающие активным сопротивлением R, нагреваются при прохождении через них тока.

Если к активному сопротивлению приложено синусоидальное напряжение

то и ток изменяется по синусоидальному закону

где

или в действующих значениях

Ток в цепи с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением, т.к. их начальные фазы равны

Временная и векторная диаграммы

Активная мощность

Из временной диаграммы следует, что мощность в цепи с активным сопротивлением изменяется по величине, но не изменяется по направлению.

Эта мощность (энергия) необратима.

От источника она поступает к потребителю и полностью преобразуется в другие виды мощности (энергии), т.е. потребляется.

Такая потребляемая мощность называется активной.

Поэтому и сопротивление R, на котором происходит подобное преобразование, называется активным.

Количественно мощность в цепи с активным сопротивлением определяется

Мгновенная мощность в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением представляет собой сумму двух величин – постоянной мощности и переменной мощности , изменяющейся с двойной частотой

Среднее за период значение переменной составляющей

Таким образом, величина активной мощности в цепи синусоидального тока с активным сопротивлением с учётом закона Ома

Единица активной мощности

Цепь с идеальной индуктивностью

Идеальной называют индуктивность такой катушки, активным сопротивлением и ёмкостью которой можно пренебречь

Если в цепи идеальной катушки проходит синусоидальный ток

то он создаёт в катушке синусоидальный магнитный поток

Этот поток индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции

Эта ЭДС достигает амплитудного значения при

Тогда

ЭДС самоиндукции в цепи с идеальной индуктивностью, как и ток, вызвавший эту ЭДС, изменяется по синусоидальному закону, но отстаёт от тока по фазе на угол π/2.

Согласно второго закона Кирхгофа для мгновенных значений

Тогда напряжение, приложенное к цепи с идеальной индуктивностью

Для существования тока в цепи с идеальной индуктивностью необходимо приложить к цепи напряжение, которое в любой момент времени равно по величине, но находится в противофазе с ЭДС, вызванной этим током

Напряжение достигает своего амплитудного значения при

Следовательно,

Напряжение, приложенное к цепи с идеальной индуктивностью, как и ток в этой цепи, изменяется по синусоидальному закону, но опережает ток по фазе на угол π/2.

Математическое выражение закона Ома для цепи синусоидального тока с идеальной индуктивностью

Знаменатель уравнения – индуктивное сопротивление

Тогда закон Ома будет иметь вид

Индуктивное сопротивление – это противодействие, которое ЭДС самоиндукции оказывает изменению тока.

Реактивная мощность в цепи с индуктивностью

Мгновенная мощность для цепи с идеальной катушкой индуктивности определяется

Читайте также:  С весенним током глухарей это

Следовательно,

Мощность в цепи синусоидального тока с идеальной катушкой индуктивности изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой

Среднее значение этой мощности за период, т.е. активная потребляемая мощность, равно нулю.

В 1-ю и 3-ю четверти периода мощность источника накапливается в магнитном поле индуктивности, а во 2-ю и 4-ю – возвращается к источнику.

В цепи переменного тока с идеальной катушкой мощность не потребляется, а колеблется между источником и катушкой индуктивности, загружая источник и провода

Такая колеблющаяся мощность, в отличие от активной, называется реактивной.

Цепь с ёмкостью

Если к конденсатору ёмкостью С приложено синусоидальное напряжение

то в цепи конденсатора проходит ток

Амплитудное значении тока , следовательно

Ток в цепи конденсатора, как и напряжение, приложенное к его обкладкам, изменяется по синусоидальному закону, однако опережает это напряжение по фазе на угол π/2.

Математическое выражение закона Ома для цепи переменного тока с ёмкостью

Знаменатель этого выражения является ёмкостным сопротивлением

Тогда выражение для закона Ома будет иметь вид

Ёмкостное сопротивление — это противодействие, которое оказывает напряжение заряженного конденсатора напряжению, приложенному к нему.

Реактивная мощность в цепи с идеальным конденсатором

Если в цепи с идеальным конденсатором проходит ток , то

напряжение, приложенное к этому конденсатору будет

Мгновенная мощность в цепи с конденсатором

Мощность в цепи с конденсатором, подключённым к источнику с синусоидальным напряжением, изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой.

Во 2-ю и 4-ю четверти периода мощность источника накапливается в электрическом поле конденсатора. В 1-ю и 3-ю четверти эта мощность из электрического поля конденсатора возвращается к источнику.

В цепи переменного тока с конденсатором происходит колебание мощности между источником и конденсатором.

Величина реактивной мощности в цепи с конденсатором

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Источник

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Синусоидальный ток и его основные параметры

Синусоидальными токами и напряжениями называются токи и напряжения, которые изменяются во времени по синусоидальному закону.

Мгновенные значения синусоидальных тока и напряжения определяются выражениями:

где Im, Um – амплитудные значения тока и напряжения;

(ωt + ψ) – фаза колебания, аргумент синусоидальной функции, [рад];

ω– угловая частота, которая может быть определена как

ω =2πf = 2π/T, [рад/с];

f– линейная частота, [Гц]; Т– период колебаний, [c];

ψi , ψu — начальные фазы тока и напряжения, которые отсчитываются от начала координат до ближайшей точки на оси абсцисс перехода синусоидальной функции через ноль от отрицательных к положительным ее значениям. Начальная фаза может быть положительной, отрицательной и равной нулю. При ψ>0 начало синусоиды сдвинуто влево относительно начала координат, при ψ 0, то ток отстает по фазе от напряжения; если угол φ

Действующие значения ЭДС и напряжения определяются аналогичными соотношениями:

Большинство систем измерительных приборов измеряют действующие значения токов и напряжений, поэтому расчеты в цепях синусоидального тока чаще всего выполняют по действующим значениям.

Действия с комплексными числами

Пусть мы имеем два комплексных числа, записанных в показательной и алгебраической формах записи:

Рассмотрим основные действия, выполняемые над комплексными числами.

Алгебраическое сложение комплексных чисел выполняется при записи их в алгебраической форме, при этом суммируются отдельно действительные части комплексных величин, отдельно — мнимые:

Умножение комплексных чисел удобнее всего выполнять в показательной форме записи, при этом модуль нового комплексного числа получается путем перемножения модулей комплексных величин, а аргумент – путем сложения фаз:

Перемножение комплексных чисел также можно выполнять и при их записи в алгебраической форме. При этом необходимо помнить, что мнимое число j = , а :

Деление комплексных величин удобно выполнять в показательной форме записи. Для получения модуля новой комплексной величины модуль числителя необходимо разделить на модуль знаменателя, а для получения аргумента необходимо из фазы числителя вычесть фазу знаменателя:

Также деление можно выполнять и при записи в алгебраической форме. При этом необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дроби на число комплексно сопряженное

Возведение в степень n выполняется в показательной форме, для этого модуль комплексного числа возводят в соответствующую степень, а показатель просто умножают на n:

Извлечение корня n-ой степени равносильно возведению в степень 1/n:

Линейные элементы R, L, C

В цепи синусоидального тока

Резистивный элемент.Резистивный элемент (рис.2.6) с сопротивлением R, как элемент схемы, учитывает необратимые преобразования электрической энергии в другие виды энергии (тепловую, механическую и т.д.).

Такой элемент называют идеальным в том случае, если можно пренебречь энергиями магнитных и электрических полей, всегда имеющихся в реальном элементе.

При синусоидальном токе, протекающем по резистивному элементу i(t)= Im sin(ωt + ψi), напряжение между зажимами резистивного элемента и ток связаны законом Ома:

Амплитудные и действующие значения тока и напряжения на резистивном элементе также связаны законом Ома:

Из полученного выражения для мгновенного значения напряжения видно, что начальные фазы напряжения и тока одинаковы, то есть напряжение и ток резистивного элемента совпадают по фазе. Их временные диаграммы представлены на рис. 2.8, а. При построении временных диаграмм начальная фаза тока принята положительной ψi > 0.

Если синусоидальную функцию i(t)=Im sin(ωt+ψi) заменить изображающей ее комплексной величиной, то закон Ома в комплексной форме запишется следующим образом:

где , — комплексные амплитуды.

Для действующих комплексных величин будем иметь:

Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, представлены на векторной диаграмме рис. 2.7, б.

Мгновенная мощность резистивного элемента:

Временная диаграмма мгновенной мощности представлен на рис. 2.7, а. Из графика видно, что вся энергия, поступающая в резистивный элемент, расходуется в нем и не возвращается генератору.

Среднее значение мгновенной мощности за время, равное периоду синусоидального тока, называется активной мощностью:

Индуктивный элемент. Идеальный индуктивный элемент с индуктивностью L (рис. 2.8) учитывает энергию магнитного поля и явление самоиндукции. В этом случае пренебрегают потерями энергии и наличием энергии электрического поля.

Напряжение на зажимах индуктивного элемента при протекании синусоидального тока i(t)=Im sin(ωt + ψi) будет определяться:

где — индуктивное реактивное сопротивление синусоидальному току;

— амплитудное значение напряжения на индуктивном элементе;

— начальная фаза напряжения, то есть напряжение на индуктивном элементе опережает свой ток на угол π/2.

При переходе к действующим значениям имеем:

В комплексной форме записи:

Для действующих комплексных значений:

здесь — индуктивное реактивное сопротивление в комплексной форме записи ( ).

На рис. 2.9, а представлена временная диаграмма тока и напряжения индуктивного элемента. На рис. 2.9, б построена векторная диаграмма для действующих комплексных значений тока и напряжения.

Читайте также:  Двигатель переменного тока 5квт

Угол сдвига фаз φ на векторной диаграмме показывается стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения.

Мгновенная мощность индуктивного элемента может быть определена:

Как видно из полученного выражения мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с частотой в два раза большей, чем частота тока. График мгновенной мощности для индуктивного элемента представлен на рис. 2.9, а. Среднее значение мгновенной мощности за период равно нулю. В те промежутки времени, когда значение мгновенного тока увеличивается, мощность имеет положительное значение, то есть энергия передается от генератора к индуктивному элементу и накапливается в нем. При уменьшении мгновенного тока мощность имеет отрицательное значение, энергия возвращается от индуктивного элемента к генератору. Для того, чтобы количественно охарактеризовать обменные процессы магнитной энергией между источником и индуктивным элементом, вводят понятие индуктивной реактивной мощности, величина которой принимается равной амплитудному значению мгновенной мощности: (ВАр –вольтампер реактивный – единица измерения реактивной мощности).

Емкостный элемент. Емкостный элемент (рис. 2.10) схемы с емкостью С учитывает только энергию электрического поля , пренебрегая при этом необратимым расходом энергии в диэлектрике и наличием энергии магнитного поля.

Ток ветви с конденсатором определяется:

В приведенных выражениях:

— амплитудное значение напряжения на конденсаторе;

— реактивное емкостное сопротивление синусоидальному току;

ψu=(ψi — π/2) – начальная фаза напряжения, напряжение на емкостном элементе отстает от своего тока на угол π/2.

Для действующих значений:

В комплексной форме записи:

здесь -реактивное емкостное сопротив-

ление в комплексной форме записи ( ).

На рис. 2.11, а и б представленны временная и векторная диаграммы тока и напряжения емкостного элемента.

Мгновенная мощность емкостного элемента будет определяться:

Временная диаграмма мгновенной мощности построена на рис. 2.11, а.

Из графика мгновенной мощности следует, что среднее значение мощности за период также, как и у индуктивного элемента, равна нулю. В промежутки времени, когда напряжение на емкостном элементе увеличивается, конденсатор заряжается, то есть энергия поступает от генератора к элементу (мощность положительна). В промежутки времени, когда напряжение уменьшается, емкостный элемент возвращает генератору накопленную энергию (мощность отрицательна). Для того чтобы количественно охарактеризовать эти обменные процессы, вводят понятие реактивной емкостной мощности, величина которой принимается равной амплитудному значению мгновенной мощности:

Как видно из временных диаграмм (рис. 2.10 и 2.11) в каждый момент времени индуктивная и емкостная мгновенные мощности находятся в противофазе. При расчете суммарной реактивной мощности значение индуктивной реактивной мощности берется положительным, а емкостной реактивной мощности — отрицательным.

Комплексный метод расчета

Для расчета цепей синусоидального тока используется комплексный метод расчета. Он основан на изображении синусоидальных функций времени комплексными числами. Соответственно дифференциальные и интегральные зависимости между напряжениями и токами в цепях синусоидального тока, заменяются линейными зависимостями между комплексными токами и напряжениями:

Далее расчеты в цепях синусоидального тока выполняются теми же методами, что и расчеты в цепях постоянного тока (метод эквивалентных преобразований, законов Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов и т.д.), только все сопротивления, токи и напряжения записываются в комплексной форме записи.

Рассмотрим определение всех токов и напряжений в схеме, показанной на рис.2.19, питающейся от источника синусоидального напряжения, комплексное действующее значение которого

Параметры элементов цепи:

Расчет будем выполнять, применяя эквивалентные преобразования в электрических цепях и закон Ома.

Определим комплексные сопротивления ветвей:

Для того чтобы по закону Ома определить ток на входе цепи, необходимо рассчитать комплексное сопротивление цепи относительно входных зажимов.

Сопротивления второй и третьей ветвей соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление относительно зажимов 2-4 можно рассчитать:

Относительно входных зажимов сопротивление первой ветви и сопротивление Z23 соединены последовательно, поэтому входное сопротивление всей цепи можно определить как сумму комплексных сопротивлений:

Напряжение на зажимах параллельных ветвей:

Зная напряжения параллельных ветвей, можно определить по закону Ома токи

Определим напряжения на участках цепи:

Построим векторную диаграмму токов и напряжений цепи. Для этого на комплексной плоскости в соответствующих масштабах тока mi и напряжения mu построим векторы рассчитанных напряжений и токов со своими начальными фазами (рис. 2.20). На векторной диаграмме хорошо видно выполнение законов Кирхгофа:

2.10. Топографическая диаграмма

При анализе электрических цепей синусоидального тока весьма полезно строить топографические диаграммы. С их помощью можно легко определять напряжения между различными точками схемы и фазы этих напряжений. Топографическая диаграмма представляет собой графическое изображение на комплексной плоскости распределения потенциалов в схеме. При этом каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме.

Отличительная особенность этих диаграмм состоит в том, что векторы напряжений на зажимах элементов сложной цепи на топографической диаграмме располагают в том порядке, в котором расположены соответствующие элементы цепи. При этом вектор напряжения на последующем элементе цепи обязательно примыкает к вектору напряжения на предыдущем элементе, в то время как на обычных векторных диаграммах любой вектор можно переносить параллельно самому себе в любое место комплексной плоскости.

Проведем качественное построение топографической диаграммы для неразветвленной цепи (рис. 2.21).

Отложим вектор тока в произвольно выбранном направлении (рис. 2.22). Примем потенциал точки g равным нулю ( ) и определим потенциалы остальных точек схемы относительно этого потенциала. Обход схемы при построении топографической диаграммы выберем навстречу току. Тогда потенциал точки f будет больше потенциала точки g на величину напряжения на резисторе R1: . Наносим вектор на комплексную плоскость и конец этого вектора обозначаем буквой f. Причем сам вектор комплексного потенциала не изображается на плоскости, а показывается только

точка, соответствующая концу этого вектора.

Аналогично рассчитываем и наносим на комплексную плоскость потенциалы остальных точек схемы:

Для определения напряжения между двумя любыми точками схемы достаточно соединить соответствующие точки топографической диаграммы отрезком прямой и придать этому вектору надлежащее направление. Так, вектор напряжения представлен на топографической диаграмме отрезком прямой, соединяющим точки а и d, соответствующие концам векторов комплексных потенциалов и . Этот вектор направлен от точки d к точке а, что соответствует правилу вычитания векторов.

Топографическую диаграмму практически всегда строят в одних осях координат с векторной диаграммой токов.

Заметим, что при выборе обхода ветвей схемы навстречу положительному направлению тока топографическая диаграмма совпадает с понятием векторной диаграммы. То есть ее можно строить, употребляя привычные нам знания: напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивном элементе опережает ток на угол 90º, а на емкостном элементе напряжение отстает от тока на угол 90º.

При выборе обхода схемы по току все векторы изменяют свое направление на 180º.

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Источник