Как преобразовать мгновенную форму записи в комплексную и обратно
В общем случае мгновенная форма записи любой величины выглядит следующим образом:
u(t) = Um·sin(ωt+ϕ)
Эта запись показывает как меняется та или иная величина в зависимости от времени. Вместо синуса может быть косинус, это ничего в дальнейших действиях не меняет.
Обратим внимание, что перед тригонометрической фунцкией всегда записывается амплитудное (то есть максимально возможное значение) величины. При этом в электротехнике в большинстве случаев расчеты ведутся в действующих, а не амплитудных значениях. Если нужны амплитудные, то это указывается в условиях задания.
Проще всего от мгновенной формы сразу перейти к показательной форме записи комплексного числа. Для этого запишем модуль числа, умноженный на «e», в стемени которой указан угол начальной фазы «ф»:
Разумеется, это будет амплитудное значение. Чтобы перевести в действующее достаточно вспомнить, что оно меньше амплитудного в √2 раза, тогда получим:
Рассмотрим пример. Задано мгновенное значение тока цепи:
Необходимо записать в комплексной форме его действующее значение. Как указано выше, запишем:
Как видите, множитель 314 перед переменной времени «t» в преобразованиях не участвует.
Преобразование из показательной формы записи комплексного числа в мгновенную форму производится, используя те же вычисления в обратном порядке. Предположим, задано действующее значение напряжения:
Сначала определим амплитудное значение напряжения, умножив модуль действующего значения на √2:
Записываем мгновенную форму, используя рассчитанную амплитуду и угол начальной фазы, известный из показательной формы записи:
Циклическую частоту цепи ω определить из комплексного числа невозможно, поэтому ее или просто записывают греческой буквой «омега» или определяют из дополнительных условий — например, из указанной частоты цепи.
Итак, простой алгоритм перевода мгновенной формы записи величины в показательную форму комплексного числа:
И последнее — вы наверняка обратили внимание, что мы переводим в показательную форму записи. Что же делать, если надо переводить в алгебраическую? Все очень просто — сначала переводим в показательную, а потом уже из нее, по формуле Эйлера, в алгебраическую. Об этом подробно мы уже писали:
Источник
Комплексная форма напряжения
Часть 3. Представление синусоидальных величин в комплексной форме
Представим в комплексной форме основные физические величины и законы:
1. напряжение и ток;
2. сопротивление и проводимость;
3. закон Ома, 1-й и 2-й законы Кирхгофа;
Рассмотрим комплексную форму напряжения в двух случаях:
1. переменное напряжение изображается вектором, вращающимся с угловой скоростью ω;
2. переменное напряжение изображается неподвижным вектором.
1-й случай ( угловая скорость вектора напряжения ω ≠ 0 ).
Предположим, что напряжение изменяется по закону
u = U 
sin ( ωt + ψ ) ( 20 ),
где: u – мгновенное значение напряжения, В;
U 
— амплитудное значение напряжение, В;
ω – угловая частота переменного тока, рад / с ( с 
);
t – промежуток времени между моментом времени t = 0 и данным моментом,
ψ – начальная фаза напряжения, электрический градус.
Такое напряжение можно представить комплексным числом
Ủ = U *е 
= U cos ( ωt + ψ ) + j U sin ( ωt + ψ ) ( 21 ).
В правой части этого числа выражение U sin ( ωt + ψ ) представляет собой мгно-
венное значение синусоидально изменяющегося напряжения. Поскольку в правую часть выражения входит время, эта форма позволяет найти мгновенное значение
напряжения для любого момента времени t. ( см. пример 19 ).
Пример 18.Напряжение изменяется по закону u = 310 sin ( 314t + 30º ). Представить это напряжение в комплексной форме.
Решение. Ủ = 310*е 
.
Пример 19. Напряжение изменяется по закону . Ủ = 310*е 
.
Найти мгновенные значения этого напряжения для моментов времени t = 0; 0,0025 с; 0,005 с; 0,0075 с; 0,01 с; 0,0125 с; 0,015 с; 0,0175 с; 0,02 с.
Решение. Мгновенное значение синусоидально изменяющегося напряжения
u 
= U sin ( ωt + ψ ) = 310 sin ( 314t + 30º ).
Примечание: для расчета числа sin ( 314t + 30º ) надо перевести радианы
(в данном случае – 314 ), в градусы. Для этого число радиан ( 314 ) умножают на число градусов в одном радиане, т.е. на число 360º/ 2π ( 1 рад = 360º/ 2π = 57º3′ ).
Для момента времени t = 0
u = 310 sin ( 314*0 + 30º ) = 310 sin 30º = 310*0,5 = 155 В.
u = 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,0025*+ 30º ] = 310 sin( 45º + 30º ) = 310 sin 75º = 300 В;
u 
= 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,005*+ 30º ] = 310 sin( 90º + 30º ) = 310 sin 120º = 268 В;
u 
= 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,0075*+ 30º ] = 310 sin( 135º + 30º ) = 310 sin 165º = 80 В;
u = 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,01*+ 30º ] = 310 sin( 180º + 30º ) = 310 sin 210º = — 15,5 В;
u 
= 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,0125*+ 30º ] = 310 sin( 225º + 30º ) = 310 sin 255º = — 300 В;
u 
= 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,015*+ 30º ] = 310 sin( 270º + 30º ) = 310 sin 300º = — 268 В;
u 
= 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,0175*+ 30º ] = 310 sin( 315º + 30º ) = 310 sin 345º = — 80 В;
u 
= 310 sin [314 ( 360º/ 2π )*0,02*+ 30º ] = 310 sin( 360º + 30º ) = 310 sin 390º =
По найденным числовым значениям при необходимости можно построить волновую ( в виде синусоиды ) диаграмму данного переменного напряжения u ( t ).
2-й случай ( угловая скорость вектора напряжения ω = 0 ).
Подставляем ω = 0 во все полученные в 1-м случае соотношения.
Такое напряжение можно представить комплексным числом
Ủ = U *е = U cos ( ωt + ψ ) + j U sin ( ωt + ψ ) = U cos ( 0*t + ψ ) + j U sin (0*t + ψ ) = U cos ψ + j U sin ψ ( 22 ).
В правой части этого числа выражение j U sin ψ — это мгновенное значе-
ние синусоидально изменяющегося напряжения. На комплексной плоскости j ( х ) это выражение выражается проекцией вектора U на вертикальную ось.
Поскольку в правую часть выражения не входит время ( t = 0 ), это выраже-
ние позволяет найти мгновенное значение напряжения только для момента времени t = 0.
Для действующих значений напряжения получим аналогичное выражение
Ủ = U*е ,
где: U = U / — действующее значение напряжения.
Пример 20. Напряжение изменяется по закону u = 310 sin ( 314t + 30º ). Представить это напряжение в комплексной форме.
Решение. Ủ = 310*е .
Пример 21. Напряжение изменяется по закону u = 310 sin ( 314t + 30º ). Представить действующее значение этого напряжения в комплексной форме.
Решение. Действующее значение напряжение U = U / = 310 / = 220 В.
Это напряжение в комплексной форме Ủ = 220*е 
.
Все приведенные выше рассуждения, касавшиеся напряжений, полностью относятся к токам.
Например, если ток изменяется по закону ι = I sin ( ωt + ψ ), то его можно представить комплексным числом
Ĭ = I *е = I cos ( ωt + ψ ) + j I sin ( ωt + ψ ) ( 23 ).
Поскольку в правую часть выражения входит время, это выражение позволяет найти мгновенное значение тока для любого момента времени t.
Если принять ω = 0 ( вектор тока не вращается ), то комплекс такого тока
Ĭ = I *е = I cos ψ + j I sin ψ ( 24 ).
Поскольку в правую часть выражения не входит время ( t = 0 ), это выражение позволяет найти мгновенное значение тока только для момента времени t = 0.
2. Комплексная форма сопротивлений и проводимостей
Комплексным сопротивлением электрической цепи называется отношение комплексного напряжения Ủ к комплексному току Ĭ:
Ž = Ủ / Ĭ = U*е / I *е = ( U / I )*e = z ( cosφ + j sinφ ) =
где: Ž – комплексное сопротивление цепи, Ом;
U – модуль комплексного напряжения, равный действующему его значению, В;
I — модуль комплексного тока, равный действующему его значению, А;
z, r и х – полное, активное и реактивное сопротивления цепи, Ом.
При записи сопротивления в комплексной форме вещественная часть комп-
лексного сопротивления всегда равна активному сопротивлению, а мнимая часть – реактивному.
При индуктивной нагрузке мнимая часть комплексного сопротивления положительна, при емкостной – отрицательна.
Пример 22 . В цепь переменного тока включены резистор и индуктивность с сопротивлениями r = 3 Ом, х 
= 4 Ом. Представить полное сопротивление цепи в
Решение. Полное сопротивление цепи z = r + j х = 3 + j 4 ( Ом ).
Пример 23. В цепь переменного тока последовательно включены резистор и ем-
кость с сопротивлениями r = 3 Ом, х 
= 4 Ом. Представить полное сопротивление цепи в комплексной форме.
Решение. Полное сопротивление цепи z = r – j х = 3 – j 4 ( Ом ).
Пример 24 . В цепь переменного тока последовательно включены резистор, индуктивность и емкость с сопротивлениями r = 3 Ом, х = 12 Ом и х = 4 Ом. Представить полное сопротивление цепи в комплексной форме.
Решение. Полное сопротивление цепи z = r + j х — j х = r + j х — j х =
= r + j ( х — х ) = 3 + j ( 12 — 4 ) = 3 + j 8 ( Ом ).
Пример 25 . В цепь переменного тока последовательно включены резистор, индуктивность и емкость с сопротивлениями r = 3 Ом, х = 4 Ом и х = 12 Ом. Представить полное сопротивление цепи в комплексной форме.
Решение. Полное сопротивление цепи z = r + j х — j х = r + j х — j х =
= r + j ( х — х ) = 3 + j ( 4 — 12 ) = 3 – j 8 ( Ом ).
Комплексной проводимостью электрической цепи называется отношение комплексного тока Ĭ к комплексному напряжению Ủ:
Ŷ = Ĭ / Ủ = I*е / U*е = ( I / U )* е 
= ( I / U )* е =
= y*е = y ( cosφ – j sinφ ) = g – j b ( 26 ),
где: Ŷ — комплексная проводимость, См ( 1 / Ом );
Источник