Меню

Момент импульса кругового тока

Основы физики. Теория и практика

Главная > Конспект >Физика

24. Магнитный момент кругового тока. Закон Ампера.

Магнитный момент кругового тока сила тока I, текущего по витку, площадь S, обтекаемая током и ориентация витка в пространстве, определяемая направлением единичного вектора нормали к плоскости витка.

Закон Ампера закон механического (пондеромоторного) взаимодействия двух токов, текущих в малых отрезках проводников, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

25. Закон Био-Савара-Лапласа и его примение к расчёту некторых магнитных полей:

А) магнитое поле прямого проводника с током.

Б) поле кругового тока в центре кругового тока.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке А индукцию поля dB, записывается в виде где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r—радиус-вектор, проведанный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора r.

магнитная индукция поля прямого тока

магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

26. Циркуляция магнитной индукции. Вихревой характер магнитного тока. Закон полного тока в вакууме (теорема о циркуляции вектора индукции).

Циркуляция магнитной индукции где dl — вектор элементарной длины контура, который направлен вдоль обхода контура, Bl=Bcosα — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбора направления обхода контура), α — угол между векторами В и dl.

Вихревой характер магнитного поля.

Линии магнитной индукции непрерывны: они не имеют ни начала, ни конца. Это имеет место для любого магнитного поля, вызванного какими угодно контурами с током. Векторные поля, обладающие непрерывными линиями, получили название вихревых полей. Мы видим, что магнитное поле есть вихревое поле. В этом заключается существенное отличие магнитного поля от электростатического.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В): циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

27. Применение закона полного тока для расчёта магнитного поля соленоида.

Кольцевая магнитная цепь

1 и совпадают, следовательно α = 0;

2 величина Нх во всех точках контура одинакова;

3 сумма токов, пронизывающих контур, равна IW.

где Lx – длина контура, вдоль которого велось интегрирование;

rx – радиус окружности.

Вектор внутри кольца зависит от расстояния rх. Если α – ширина кольца 28. Магнитный поток. Теорема Гаусса для потока вектора магнитной индукции.

Магни́тный пото́к — поток как интеграл вектора магнитной индукции через конечную поверхность . Определяется через интеграл по поверхности

В соответствии с теоремой Гаусса для магнитной индукции поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

29. Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле.

работа по перемещению замкну того контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

30. Сила Лоренца. Движение заряжённых частиц в магнитном поле. Ускорители заряжённых частиц в магнитном поле.

Сила Лоренца — сила, с которой электромагнитное поле действует на точечную заряженную частицу. v-скорость частицы

. Движение заряжённых частиц в магнитном поле

В основе работы ускорителя заложено взаимодействие заряженных частиц с электрическим и магнитным полями. Электрическое поле способно напрямую совершать работу над частицей, то есть увеличивать её энергию. Магнитное же поле, создавая силу Лоренца, только отклоняет частицу, не изменяя её энергии, и задаёт орбиту, по которой движутся частицы.

31. Явление электромагнитной индукции. Закон фарадея. Правило Ленца.

Электромагнитная индукция — явление возникновения электрического тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, проходящего через него.

Правило Ленца , правило для определения направления индукционного тока: Индукционный ток, возникающий при относительном движении проводящего контура и источника магнитного поля, всегда имеет такое направление, что его собственный магнитный поток компенсирует изменения внешнего магнитного потока, вызвавшего этот ток.

32. ЭДС индукции. Закон электромагнитной индукции.

Электродвижущая сила (ЭДС) — физическая величина, характеризующая работу сторонних (непотенциальных) сил в источниках постоянного или переменного тока. В замкнутом проводящем контуре ЭДС равна работе этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль контура.

ЭДС можно выразить через напряжённость электрического поля сторонних сил (Eex). В замкнутом контуре (L) тогда ЭДС будет равна: , где dl — элемент длины контура.

Закон электромагнитной индукции Эл. ток в цепи возможен, если на свободные заряды проводника действуют сторонние силы. Работа этих сил по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура называется ЭДС. При изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, в контуре появляются сторонние силы, действие которых характеризуется ЭДС индукции.

33. Самоиндукция. Индуктивность.

Самоиндукция — возбуждение электродвижущей силы индукции (эдс) в электрической цепи при изменении электрического тока в этой цепи; частный случай электромагнитной индукции. Электродвижущая сила самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения тока

Индуктивность (от лат. inductio — наведение, побуждение), физическая величина, характеризующая магнитные свойства электрической цепи. Ток, текущий в проводящем контуре, создаёт в окружающем пространстве магнитное поле, причём магнитный поток Ф, пронизывающий контур (сцепленный с ним), прямо пропорционален силе тока I :

34. Явление взаимной индукции. Коэффициент взаимной индукции.

Явлением взаимоиндукции называют наведение ЭДС в одном контуре при изменении тока в другом.

Ф21 = M21I1 Коэффициент М21 называется взаимной индуктивностью втоpого контуpа в зависимости от пеpвого.

35. Энергия магнитного поля. Плотность энергии магнитного поля.

Энергия магнитного поля

Плотность энергии магнитного поля (H-напряженность магнитного поля).

36. Магнитные свойства вещества. Намагничевание вещества. Теорема Гаусса для индукции магнитного поля.

По магнитным свойствам все вещества можно разделить на три класса:

вещества с резко выраженными магнитными свойствами — ферромагнитными; их магнитное поле заметно на значительных расстояниях

парамагнитными; магнитные свойства их в общем аналогичны свойствам ферромагнитных материалов, но гораздо слабее

Читайте также:  Выход металла по току в процентах

диамагнитные вещества- они отталкиваются электромагнитом, т.е. сила, действующая на диамагнетики, направлена противоположно той, что действует на ферро- и парамагнетики.

Теорема Гаусса для магнитной индукции

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

или в дифференциальной форме:

Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов» (монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле[5]. Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является (полностью) вихревым.

37. Напяжённость магнитного поля. Теорема о циркуляции вектора напяжённости магнитного поля.

Напряжённость магни́тного по́ля — (стандартное обозначение Н) это векторная физическая величина, равная разности вектора магнитной индукции B и вектора намагниченности M.

, где μ0 — магнитная постоянная

Теорема о циркуляции вектора напяжённости магнитного поля:

Циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру пропорциональна сумме сил токов, пронизывающих контур циркуляции.

38. Закон полного тока в веществе.

закон полного тока : Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумме макротоков, охватываемых контуром.

39. Магнитная восприимчевость и магнитная проницаемость вещества.

Магнитная проницаемость — физическая величина, характеризующая связь между магнитной индукцией B и напряжённостью магнитного поля H в веществе.

40. Диа-, пара- и феромагнетики.

41. Электромагнитные колебания в колебательном контуре. Формула Томсона.

Резонансная частота контура определяется так называемой формулой Томсона

42. Уравнение Максвелла в интегральной форме.

При помощи формул Остроградского—Гаусса и Стокса дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму интегральных уравнений:

Источник

Момент импульса. Момент силы. Закон сохранения момента импульса. Изменение импульса.

date image2015-07-14
views image50340

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Моме?нт и?мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением
, где — радиус-вектор, проведенный из точки O, — импульс материальной точки.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим
.

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):
.

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:
.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.
Это один из фундаментальных законов природы.

Аналогично для замкнутой системы тел, вращающихся вокруг оси z:

Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.
Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.

Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение 4.8), и состоит в следующем:

— если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.

Действительно, если M = 0, то dL / dt = 0 , откуда

(4.14)

Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (уравнение 4.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси:

— если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если Mz = 0, то dLz / dt = 0, откуда

(4.15)

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

Изменение импульса материальной точки вызывается действием на нее силы.

Умножая уравнение (1.7) слева векторно на радиус-вектор , Получаем

Где вектор называется Моментом импульса материальной точки, а вектор — Моментом силы. Изменение момента импульса материальной точки вызывается моментом действующей на нее силы.

Несколько тел, каждое из которых можно рассматривать как материальную точку, составляют Систему материальных точек. Для каждой материальной точки можно записать уравнение вто­рого закона Ньютона

В уравнении (1.13) индексы дают номер материальной точки. Действующие на материальную точку силы разделены на внеш­ние и внутренние . Внешние силы — это силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему материальных точек. Вну­тренние силы — это силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, составляющих систему материальных точек. Здесь — сила, действующая на материальную точку, индекс которой , со стороны материальной точки с номером .

Из уравнений (1.13) вытекают несколько важных законов. Если просуммируем их по всем материальным точкам системы, то по­лучим

Величина (1.15)

Называется Импульсом системы материальных точек. Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов отдельных материальных точек. В уравнении (1.14) двойная сумма для вну­тренних сил обращается в нуль. Для каждой пары материальных точек в нее входят силы, которые по третьему закону Ньютона равны и противоположно направлены. Для каждой пары вектор­ная сумма этих сил обращается в нуль. Поэтому равна нулю и сумма для всех сил.

В результате получим:

Уравнение (1.16) выражает закон изменения импульса системы материальных точек. Изменение импульса системы материальных точек вызывается только внешними силами. Если на систему не действуют внешние силы, то импульс системы материальных то­чек сохраняется. Систему материальных точек, на которую не действуют внешние силы, называют Изолированной, или замкну­той, системой материальных точек.

Аналогичным образом для каждой материальной точки запи­сываются уравнения (1.8) моментов импульсов

При суммировании уравнений (1.17) по всем материальным точ­кам системы материальных точек сумма моментов внутренних сил обращается в нуль и получается Закон изменения момента импуль­са системы материальных точек:

Где введены обозначения: — момент импульса системы мате­риальных точек, — момент внешних сил. Изменение момен­та импульса системы материальных точек вызывается внешними силами, действующими на систему. Для замкнутой системы мате­риальных точек момент импульса сохраняется

Вектор, равный векторному произведению радиус-вектора на силу,
называется моментом силы .

Читайте также:  Производство химических источников тока в россии

Источник



Понятие о моменте импульса, его закон сохранения и пример решения задачи

Вращательное движение является не менее распространенным в природе, чем линейное перемещение объектов. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить вращение колес автомобилей и велосипедов, лопастей вертолетов и вентиляторов, планет вокруг своей оси и вокруг своих звезд. Для описания процесса кругового перемещения объектов используется физическая величина, которая получила название «момент импульса». Рассмотрим в статье, что она собой представляет.

Момент импульса частицы и ось вращения

Ниже приведен рисунок, на котором схематически показано, что некоторая частица или материальная точка массой m совершает движение по круговой траектории радиусом r¯ со скоростью v¯, направленной по касательной. Ось вращения расположена перпендикулярно плоскости рисунка в точке O.

Момент импульса точки

Введем следующую физическую величину:

Она называется моментом импульса, или угловым моментом. Как видно, это векторная величина. Ее направление можно определить по правилу правой руки: необходимо направить 4 пальца таким образом, чтобы они, двигаясь вдоль вектора r¯, приходили к концу вектора p¯ (или v¯), тогда большой палец покажет направление L¯. В рассматриваемом случае L¯ направлен к читателю перпендикулярно плоскости рисунка.

Поскольку на рисунке скорость (импульс) частицы направлена под прямым углом к вектору r¯, то приведенное уравнение можно переписать в скалярной форме:

Угловая скорость и момент инерции

Угловая и линейная скорости

Момент импульса частицы из предыдущего примера можно записать через угловую скорость ω. Для этого воспользуемся ее связью со скоростью линейной:

Подставляя последнее равенство в скалярное уравнение для L, получим:

Здесь I — это момент инерции частицы. Полученное выражение используется часто для решения практических задач, одна из которых будет рассмотрена ниже.

Закон сохранения вращательного движения

Закон сохранения момента импульса

Движение по кругу так же, как и линейное перемещение объектов в пространстве, характеризуется законами сохранения. Одним из них является сохранение момента импульса. Получим этот закон.

Уравнение рассматриваемого типа движения имеет следующий вид:

Где dL/dt характеризует изменение момента импульса тела во времени, когда на него оказывает действие некоторый момент M, создаваемый внешними (не внутренними) силами. Если этот момент сил равен нулю, тогда зануляется и левая часть выражения, что означает L=const. Для этого случая можно записать такое равенство:

Что означает эта запись? Она говорит о том, что если некоторое тело вращалось со скоростью ω1 и имело момент инерции I1, затем по причине каких-либо внутренних (не внешних) сил изменился момент инерции и стал равным I2, то новая скорость вращения ω2 будет пропорционально связана с этим изменением.

Записанное соотношение называется законом сохранения момента импульса точки (тела) по аналогии с соответствующим законом для линейных величин (сохранение импульса), поскольку роль массы играет момент инерции I, а скорости — угловая величина ω.

Использование закона L = const

Рассмотренное в предыдущем пункте соотношение можно видеть в действии, когда выступают фигуристы или балерины. Они, выполняя сложные акробатические номера, раскручивают свое тело, разбрасывая при этом руки и ноги, а затем прижимают конечности к телу. Последнее действие приводит к уменьшению величины I и, соответственно, к увеличению скорости вращения, что создает достаточно зрелищный эффект.

Демонстрация сохранения момента импульса

Другим примером использования неизменности момента импульса системы является реализация поворота искусственного спутника в космическом пространстве. Для этого запускают специальный прикрепленный к нему маховик. Поскольку общий угловой момент не должен измениться за счет действия внутренних сил, то сам спутник начинает вращаться в противоположном направлении. Как только он повернется на нужный угол вокруг своей оси, маховик останавливают с помощью электромотора, и корпус спутника также прекращает свое вращение.

Вычисление момента инерции

Поскольку в законе сохранения кругового движения присутствует величина I, то следует сказать несколько слов про нее. Она характеризует инерционность системы, то есть насколько «трудно» или «легко» ее раскрутить. Например, маховик автомобиля обладает большой массой и относительно большим радиусом, поэтому его момент инерции является значительным. Наоборот, колесо велосипеда сделано из алюминиевого легкого обода, поэтому для него I будет сравнительно небольшим.

Для вычисления этой физической характеристики следует использовать формулу:

Откуда видно, что момент инерции — это характеристика системы, в которую входит тело вращения, а не самого тела. Этот факт отличает I от линейной инерции, которая зависит исключительно от свойств тела (его массы).

Задача с вращающимся стержнем

Вращение стержня

Решим интересную задачу: имеется твердый стержень, который вращается вокруг оси, расположенной на его конце. Если плавно сместить эту ось в центр массы стержня, как изменится его скорость вращения?

Это классическая задача на применение закона сохранения момента импульса. Трудность заключается в вычислении изменения момента инерции. Для этого можно самостоятельно воспользоваться приведенной выше формулой с интегралом, но проще будет посмотреть необходимые значения I в справочной литературе.

В начале ось вращения проходила через конец стержня. Для этой системы момент инерции равен:

I1 = m*L 2 /3, где L — длина стержня, m — его масса.

Когда ось сместили в центр массы объекта, то изменился его момент инерции, он стал равен:

Применяем закон сохранения для L, получаем:

Мы получили ответ на задачу: стержень станет вращаться в 4 раза быстрее, чем вначале.

Источник

Импульс и момент импульса в физике: формулы, описывающие закон сохранения этих величин

Задачи с движущимися телами в физике, когда скорость много меньше световой, решаются с помощью законов ньютоновской, или классической механики. В ней одним из важных понятий является импульс. Основные формулы импульса в физике приводятся в данной статье.

Читайте также:  Защита от перегрузки током возбуждения

Импульс или количество движения?

Прежде чем приводить формулы импульса тела в физике, познакомимся с этим понятием. Впервые величину под названием impeto (импульс) использовал в описании своих трудов Галилей в начале XVII века. Впоследствии Исаак Ньютон для нее употребил другое название — motus (движение). Поскольку фигура Ньютона оказала большее влияние на развитие классической физики, чем личность Галилея, изначально принято говорить не об импульсе тела, а о количестве движения.

Ярославский политехнический университет (ЯГТУ): сведения, факты, поступление Вам будет интересно: Ярославский политехнический университет (ЯГТУ): сведения, факты, поступление

Под количеством движения понимают произведение скорости перемещения тела на инерционный коэффициент, то есть на массу. Соответствующая формула имеет вид:

Здесь p¯ — вектор, направление которого совпадает с v¯, но модуль в m раз больше, чем модуль v¯.

Изменение величины p¯

Понятие о количестве движения в настоящее время используют реже, чем об импульсе. И связан этот факт непосредственно с законами ньютоновской механики. Запишем его в форме, которая приводится в школьных учебниках по физике:

Заменим ускорение a¯ на соответствующее выражение с производной скорости, получим:

Перенося dt из знаменателя правой части равенства в числитель левой, получаем:

Мы получили интересный результат: помимо того, что действующая сила F¯ приводит к ускорению тела (см. первую формулу этого пункта), она также изменяет количество его движения. Произведение силы на время, которое стоит в левой части, называется импульсом силы. Он оказывается равным изменению величины p¯. Поэтому последнее выражение называют также формулой импульса в физике.

Заметим, что dp¯ — это тоже векторная величина, но направлена она в отличие от p¯ не как скорость v¯, а как сила F¯.

Ярким примером изменения вектора количества движения (импульса) является ситуация, когда футболист бьет по мячу. До удара мяч двигался к футболисту, после удара — от него.

Закон сохранения импульса

Формулировка третьего закона Ньютона: примеры, связь с ускорением системы и с ее импульсом Вам будет интересно: Формулировка третьего закона Ньютона: примеры, связь с ускорением системы и с ее импульсом

Формулы в физике, которые описывают сохранение величины p¯, могут быть приведены в нескольких вариантах. Прежде чем их записывать, ответим на вопрос о том, когда сохраняется импульс.

Обратимся к выражению из предыдущего пункта:

Оно говорит о том, что если сумма внешних сил, оказывающих воздействие на систему, равна нулю (закрытая система, F¯= 0), тогда dp¯= 0, то есть никакого изменения количества движения не будет происходить:

Это выражение является общим для импульса тела и закона сохранения импульса в физике. Отметим два важных момента, о которых следует знать, чтобы с успехом применять это выражение на практике:

  • Импульс сохраняется вдоль каждой координаты, то есть если до некоторого события значение px системы составляло 2 кг*м/c, то после этого события оно будет таким же.
  • Импульс сохраняется независимо от характера столкновений твердых тел в системе. Известно два идеальных случая таких столкновений: абсолютно упругий и абсолютно пластичный удары. В первом случае сохраняется также кинетическая энергия, во втором часть ее расходуется на пластическую деформацию тел, однако импульс сохраняется все равно.

Упругое и неупругое взаимодействие двух тел

Частным случаем использования формулы импульса в физике и его сохранения является движение двух тел, которые сталкиваются друг с другом. Рассмотрим два принципиально разных случая, о которых упоминалось в пункте выше.

Если удар будет абсолютно упругим, то есть передача импульса от одного тела к другому осуществляется посредством упругой деформации, тогда формула сохранения p запишется так:

m1*v1 + m2*v2 = m1*u1 + m2*u2

Здесь важно помнить, что знак скорости должен подставляться с учетом ее направления вдоль рассматриваемой оси (противоположные скорости имеют разные знаки). Эта формула показывает, что при условии известного начального состояния системы (величины m1, v1, m2, v2) в конечном состоянии (после столкновения) имеется две неизвестных (u1, u2). Найти их можно, если воспользоваться соответствующим законом сохранения кинетической энергии:

m1*v12 + m2*v22 = m1*u12 + m2*u22

Если удар абсолютно неупругий или пластический, то после столкновения два тела начинают двигаться как единое целое. В этом случае имеет место выражение:

m1*v1 + m2*v2 = (m1 + m2)*u

Как видно, речь идет всего об одной неизвестной (u), поэтому для ее определения достаточно этого одного равенства.

Импульс тела во время движения по окружности

Все, что было сказано выше об импульсе, относится к линейным перемещениям тел. Как быть в случае вращения объектов вокруг оси? Для этого в физике введено другое понятие, которое аналогично линейному импульсу. Оно называется моментом импульса. Формула в физике для него принимает следующий вид:

Здесь r¯ — вектор, равный расстоянию от оси вращения до частицы с импульсом p¯, совершающей круговые движения вокруг этой оси. Величина L¯ — это тоже вектор, но рассчитать его несколько сложнее, чем p¯, поскольку речь идет о векторном произведении.

Закон сохранения L¯

Формула для L¯, которая приведена выше, является определением этой величины. На практике же предпочитают использовать несколько иное выражение. Не будем вдаваться в подробности его получения (это несложно, и каждый может проделать это самостоятельно), а приведем его сразу:

Здесь I — это момент инерции (для материальной точки он равен m*r2), который описывает инерционные свойства вращающегося объекта, ω¯ — скорость угловая. Как можно заметить, это уравнение аналогично по форме записи такового для линейного импульса p¯.

Если на вращающую систему не действуют никакие внешние силы (в действительности момент сил), то произведение I на ω¯ будет сохраняться независимо от процессов, происходящих внутри системы. То есть закон сохранения для L¯ имеет вид:

Примером его проявления является выступление спортсменов в фигурном катании, когда они совершают вращения на льду.

Источник