Меню

Мощность множества пример решения

1.23 Понятие мощности множества

Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же количества элементов. Если эквивалентны между собой два бесконечных множества M и N, то говорят, что M и N имеют одинаковую Мощность.

Таким образом, мощность – это то общее, что есть у любых двух, эквивалентных между собой множеств. Для конечных множеств понятие мощности совпадает с привычным понятием числа элементов множества.

Мощность множества натуральных чисел и любого другого счетного множества мы будем обозначать l0. Это самая маленькая мощность среди бесконечных множеств.

Множества, эквивалентные множеству всех действительных чи­сел отрезка [0; 1], имеют Мощность континуума. Эта мощность обоз­начается символом С (или l). Множества с мощностью континуума имеют более «высокий порядок» бесконечности по сравнению со счетными множествами.

Для мощностей конечных множеств имеются понятия «равен­ства», а также «больше» и «меньше». Эти понятия справедливы и для бесконечных множеств.

Пусть А и В – два произвольных множества, а M(А) и M(В) – их мощности. Тогда возможны следующие случаи:

1. А эквивалентно некоторому подмножеству В, а В эквивалентно некоторой части А.

2. А содержит некоторую часть, эквивалентную В, но в В нет части, эквивалентной А.

3. В содержит некоторую часть, эквивалентную А, но в А нет части, эквивалентной В.

· В первом случае множества А и В в силу теоремы Кантора – Бернштейна эквивалентны между собой, т. е. M(А) = M(В).

· Во втором случае естественно считать, что M(А) > M(В).

· В третьем случае M(А) M(В) или M(А) M(М).

Итак, для любой мощности мы можем построить множество большей мощности, затем еще большей и т. д., получая таким образом неограниченную сверху шкалу мощностей.

Мощность множества М* обозначают символом 2M , где M – мощность множества М. Смысл этого обозначения можно понять, рас­смотрев случай конечного М.

Тогда теорему можно выразить неравенством 2M > M.

В частности, при M = l0 мы получим неравенство 2l0 > l0. Возникает вопрос, чему равна мощность 2l0 . Оказывается, что 2l0 = С, т. е. Мощность множества подмножеств натурального ряда равна мощности континуума.

Источник



Мощность множества: примеры. Мощность объединения множеств

Достаточно часто в математической науке возникает ряд трудностей и вопросов, причем многие ответы не всегда проясняются. Не исключением стала такая тема, как мощность множеств. По сути, это не что иное как численное выражение количества объектов. В общем смысле множество является аксиомой, у него нет определения. В основе лежат любые объекты, а точнее их набор, который может носить пустой, конечный или бесконечный характер. Кроме этого, он содержит числа целые или натуральные, матрицы, последовательности, отрезки и прямые.

О существующих переменных

Нулевой или пустой набор, не имеющий собственного значения, считается элементом мощности, так как это подмножество. Сбор всех подмножеств непустого множества S является множеством множеств. Таким образом, набор мощности заданного множества считается многим, мыслимым, но единым. Это множество называется множеством степеней S и обозначается P (S). Если S содержит N элементов, то P (S) содержит 2 ^ n подмножеств, так как подмножество P (S) является либо ∅, либо подмножеством, содержащим r элементов из S, r = 1, 2, 3, . Составленное из всего бесконечного множества M называется степенным количеством и символически обозначается P (M).

Элементы теории множеств

Эта область знаний была разработана Джорджем Кантором (1845-1918 годы жизни). Сегодня она используется почти во всех отраслях математики и служит ее фундаментальной частью. В теории множеств элементы представлены в форме списка и заданы типами (пустой набор, одноэлементный, конечные и бесконечные множества, равные и эквивалентные, универсальные), объединение, пересечение, разность и дополнение чисел. В повседневной жизни часто говорится о коллекции таких объектов, как куча ключей, стая птиц, пачка карточек и т. д. В математике 5 класса и не только, встречаются натуральные, целые, простые и составные числа.

Читайте также:  Коэффициент спроса установленной мощности потребителя

Можно рассмотреть следующие множества:

  • натуральные числа;
  • буквы алфавита;
  • первичные коэффициенты;
  • треугольники с разными значениями сторон.

Видно, что эти указанные примеры представляют собой четко определенные множества объектов. Рассмотрим еще несколько примеров:

  • пять самых известных ученых мира;
  • семь красивых девушек в обществе;
  • три лучших хирурга.

Эти примеры мощности множества не являются четко определенными коллекциями объектов, потому, что критерий «наиболее известных», «самых красивых», «лучших» варьируется от человека к человеку.

Наборы

Это значение представляет собой четко определенное количество различных объектов. Предположив, что:

  • набор слов является синонимом, агрегатом, классом и содержит элементы;
  • объекты, члены являются равными по значению терминами;
  • наборы обычно обозначаются прописными буквами A, B, C;
  • элементы набора представлены маленькими буквами a, b, c.

Если «a» — элемент множества A, то говорится, что «a» принадлежит A. Обозначим фразу «принадлежит» греческим символом «∈» (epsilon). Таким образом, выходит, что a ∈ A. Если ‘b’ — элемент, который не принадлежит A, это представляется как b ∉ A. Некоторые важные наборы, используемые в математике 5 класса, представляют, используя три следующих метода:

  • заявки;
  • реестров или табличные;
  • правило создания построения.

При детальном рассмотрении форма заявления основана на следующем. В этом случае задано четкое описание элементов множества. Все они заключены в фигурные скобки. Например:

  • множество нечетных чисел, меньших 7 — записывается как <меньше 7>;
  • набор чисел больше 30 и меньше 55;
  • количество учеников класса, вес которых больше, чем учителя.

В форме реестра (табличной) элементы набора перечислены в паре скобок <> и разделены запятыми. Например:

  1. Пусть N обозначает множество первых пяти натуральных чисел. Следовательно, N = → форма реестра
  2. Набор всех гласных английского алфавита. Следовательно, V = → форма реестра
  3. Множество всех нечетных чисел меньше 9. Следовательно, X = <1, 3, 5, 7>→ форма реестра
  4. Набор всех букв в слове «Математика». Следовательно, Z = → Форма реестра
  5. W — это набор последних четырех месяцев года. Следовательно, W = <сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь>→ реестр.

Стоит отметить, что порядок, в котором перечислены элементы, не имеет значения, но они не должны повторяться. Установленная форма построения, в заданном случае правило, формула или оператор записываются в пару скобок, чтобы набор был корректно определен. В форме set builder все элементы должны обладать одним свойством, чтобы стать членом рассматриваемого значения.

В этой форме представления набора элемент множества описывается с помощью символа «x» или любой другой переменной, за которой следует двоеточие («:» или «|» используется для обозначения). Например, пусть P — множество счетных чисел, большее 12. P в форме set-builder написано, как — <счетное число и больше 12>. Это будет читаться определенным образом. То есть, «P – множество элементов x, такое, что x является счетным числом и больше 12».

Решенный пример с использованием трех методов представления набора: количество целых чисел, лежащих между -2 и 3. Ниже приведены примеры различных типов наборов:

  1. Пустой или нулевой набор, который не содержит какого-либо элемента и обозначается символом ∅ и считывается как phi. В форме списка ∅ имеет написание <>. Пустым является конечное множество, так как число элементов 0. Например, набор целых значений меньше 0.
  2. Очевидно, что их не должно быть

Конечное множество

Множество, содержащее определенное число элементов, называется конечным либо бесконечным множеством. Пустое относится к первому. Например, набор всех цветов в радуге.

Бесконечное количество – это набор. Элементы в нем не могут быть перечислены. То есть, содержащий подобные переменные, называется бесконечным множеством. Примеры:

  • мощность множества всех точек в плоскости;
  • набор всех простых чисел.

Но стоит понимать, что все мощности объединения множества не могут быть выражены в форме списка. К примеру, вещественные числа, так как их элементы не соответствуют какой-либо конкретной схеме.

Кардинальный номер набора – это число различных элементов в заданном количестве A. Оно обозначается n (A).

Эквивалентные наборы для сравнения множеств

Две мощности множества A и B являются таковыми, если их кардинальное число одинаково. Символом для обозначения эквивалентного набора является «↔». Например: A ↔ B.

Равные наборы: две мощности множества A и B, если они содержат одни и те же элементы. Каждый коэффициент из A является переменной из B, и каждый из B является указанным значением A. Следовательно, A = B. Различные типы объединения множеств в мощности и их определения объясняются с помощью указанных примеров.

Сущность конечности и бесконечности

Каковы различия между мощностью конечного множества и бесконечного?

Для первого значения характерно следующее название, если оно либо пустое, либо имеет конечное число элементов. В конечном множестве переменная может быть указана, если она имеет ограниченный счет. Например, с помощью натурального числа 1, 2, 3. И процесс листинга заканчивается на некотором N. Число различных элементов, отсчитываемых в конечном множестве S, обозначается через n (S). А также называется порядком или кардинальным. Символически обозначается по стандартному принципу. Таким образом, если множество S является русским алфавитом, то оно содержит в себе 33 элемента. Также важно запомнить, что элемент не встречается более одного раза в наборе.

Бесконечное количество в множестве

Множество называется бесконечным, если элементы не могут быть перечислены. Если оно имеет неограниченное (то есть несчетное) натуральное число 1, 2, 3, 4 для любого n. Множество, которое не является конечным, называется бесконечным. Теперь можно обсудить примеры рассматриваемых числовых значений. Варианты конечного значения:

  1. Пусть Q = <натуральные числа меньше 25>. Тогда Q — конечное множество и n (P) = 24.
  2. Пусть R = <целые числа между 5 и 45>. Тогда R — конечное множество и n (R) = 38.
  3. Пусть S = <числа, модуль которых равен 9>. Тогда S = <-9, 9>является конечным множеством и n (S) = 2.
  4. Набор всех людей.
  5. Количество всех птиц.

Примеры бесконечного множества:

  • количество существующих точек на плоскости;
  • число всех пунктов в сегменте линии;
  • множество положительных целых чисел, кратных 3, является бесконечным;
  • все целые и натуральные числа.

Таким образом, из приведенных выше рассуждений понятно, как различать конечные и бесконечные множества.

Мощность множества континуум

Если провести сравнение множества и других существующих значений, то к множеству присоединено дополнение. Если ξ – универсальное, а A – подмножество ξ, то дополнение к A является количеством всех элементов ξ, которые не являются элементами A. Символически обозначается дополнение A относительно ξ как A’. К примеру, 2, 4, 5, 6 являются единственными элементами ξ, которые не принадлежат A. Следовательно, A’=

Множество с мощностью континуум имеет следующие особенности:

  • дополнением универсального количества является пустое рассматриваемое значение;
  • эта переменная нулевого множества является универсальным;
  • количество и его дополнение являются непересекающимися.
  1. Пусть количество натуральных чисел является универсальным множеством и А – четное. То, тогда A ‘.
  2. Пусть ξ = множество букв в алфавите. A = набор согласных. Тогда A ‘= количество гласных.
  3. Дополнением к универсальному множеству является пустое количество. Можно обозначить через ξ. Тогда ξ ‘= Множество тех элементов, которые не входят в ξ. Пишется и обозначается пустое множество φ. Поэтому ξ = φ. Таким образом, дополнение к универсальному множеству является пустым.

В математике «континуум» иногда используется для обозначения реальной линии. И в более общем плане, для описания подобных объектов:

  • континуум (в теории множеств) — вещественная линия или соответствующее кардинальное число;
  • линейный — любое упорядоченное множество, которое разделяет определенные свойства реальной прямой;
  • континуум (в топологии) — непустое компактное связное метрическое пространство (иногда хаусдорфово);
  • гипотеза о том, что никакие бесконечные множества больше целых чисел, но меньшие, чем действительные числа;
  • мощность континуума — кардинальное число, представляющее размер множества действительных чисел.

По существу дела, континуум (измерение), теории или модели, которые объясняют постепенные переходы из одного состояния в другое без каких-либо резких изменений.

Проблемы объединения и пересечения

Известно, что пересечение двух или более множеств – это количество, содержащее все элементы, которые являются общими в этих значениях. Задачи Word на множествах решаются, чтобы получить основные идеи о том, как использовать свойства объединения и пересечения множеств. Решенные основные проблемы слов на множествах выглядят так:

  1. Пусть A и B – два конечных множества. Они представляют собой такие, что n (A) = 20, n (B) = 28 и n (A ∪ B) = 36, находится n (A ∩ B).

Связь в наборах с использованием диаграммы Венна:

  1. Объединение двух множеств может быть представлено заштрихованной областью, представляющей A ∪ B. A ∪ B, когда A и B – непересекающиеся множества.
  2. Пересечение двух множеств может быть представлено диаграммой Венна. С затененной областью, представляющей A ∩ B.
  3. Разность двух наборов может быть представлена диаграммами Венна. С заштрихованной областью, представляющей A — B.
  4. Связь между тремя наборами, использующими диаграмму Венна. Если ξ представляет универсальное количество, то A, B, C – три подмножества. Здесь все три набора являются перекрывающимися.

Обобщение информации о множестве

Мощность множества определяется как общее количество отдельных элементов в наборе. А последнее указанное значение описывается как количество всех подмножеств. При изучении подобных вопросов требуются методы, способы и варианты решения. Итак, у мощности множества примерами могут служить следующие:

Пусть A = <0,1,2,3>| | = 4, где | A | представляет мощность множества A.

Теперь можно найти свой набор мощности. Это тоже довольно просто. Как уже сказано, набор мощности установлен из всех подмножеств заданного количества. Поэтому нужно в основном определить все переменные, элементы и другие значения A, которые <>, <0>, <1>, <2>, <3>, <0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,2>, <1,3>, < 2,3>, <0,1,2>, <0,1,3>, <1,2,3>, <0,2,3>, <0,1,2,3>.

Теперь мощность выясняет P = <<>, <0>, <1>, <2>, <3>, <0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,2>, <1,3>, <2,3>, <0,1,2>, <0,1,3>, <1,2,3>, <0,2,3>, <0,1,2,3>>, который имеет 16 элементов. Таким образом, мощность множества A = 16. Очевидно, что это утомительный и громоздкий метод решения этой проблемы. Однако есть простая формула, по которой, непосредственно, можно знать количество элементов в множестве мощности заданного количества. | P | = 2 ^ N, где N — число элементов в некотором A. Эта формула может быть получена применением простой комбинаторики. Таким образом, вопрос равен 2 ^ 11, поскольку число элементов в множестве A равно 11.

Итак, множеством является любое численно выраженное количество, которое может быть всевозможным объектом. К примеру, машины, люди, числа. В математическом значении это понятие шире и более обобщенное. Если на начальных этапах разбираются числа и варианты их решения, то в средних и высших стадиях условия и задачи усложнены. По сути, мощность объединения множества определена принадлежностью объекта к какой-либо группе. То есть один элемент принадлежит к классу, но имеет одну или несколько переменных.

Источник