Меню

Наибольшее касательное напряжение при кручении стержня круглого сечения

Кручение стержня круглого сечения. Напряжения. Расчеты на прочность.

Чистым сдвигом называется частный случай двухосного напряженного состояния, при котором на гранях элемента действуют только касательные напряжения. На основании закона парности касательных напряжений , и в дальнейшем индексы у касательных напряжений будем опускать. На рис. 6.1,а показан малый элемент под воздействием касательных напряжений, на рис. 6.1,б – его упрощенное изображение.

Рис. 6.1. Малый элемент под действием касательных напряжений

Под действиемкасательных напряжений рассматриваемый элемент деформируется. Если первоначально элемент имеет форму прямоугольника, то в деформированном состоянии он становится параллелограммом (рис. 6.2). В соответствии с ранее данным определением угловая деформация g равна величине изменения первоначально прямого угла.

При испытании стальных образцов на сдвиг диаграмма подобна диаграмме , получаемой при растяжении. На диаграмме сдвига имеются характерные точки – предел пропорциональности при сдвиге и предел текучести при сдвиге . При напряжениях, меньших , справедлива линейная зависимость

. (6.1)

Зависимость (6.1) называется законом Гука при сдвиге, а коэффициент пропорциональности носит название модуля упругости при сдвиге.Модуль может быть определен из опыта и является третьей упругой характеристикой материала. Напомним, что первыми двумя являются модуль упругости и коэффициент Пуассона . Все эти три характеристики называют константами упругости, они описывают деформационные свойства материалов в упругой области, в то время, как предел текучести или временное сопротивление характеризуют прочностные свойства. Три перечисленные константы упругости , и связаны соотношением

(6.2)

Для малоуглеродистой стали, при МПа и получим МПа.

Кручение стержня круглого сечения. Внутренние усилия.

Кручением называется такой вид напряженно-деформированного состояния стержня, при котором внешними нагрузками являются сосредоточенные ( М) или распределенные по длине ( m) скручивающие моменты (рис.6.3). Сосредоточенные моменты измеряются в кН×м, а распределенные – в .

Рис. 6.3. Внешние нагрузки при кручении стержня (а);

внутреннее усилие – крутящий момент (б)

При кручении в поперечных сечениях стержня из шести внутренних усилий отличными от нулябудут только крутящие моменты .

Примем следующее правило знаков для крутящих моментов: момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он направлен по направлению часовой стрелки (рис. 7.3, б). В учебной литературе встречается и другое правило знаков, когда положительный крутящий момент направлен против часовой стрелки. Знак крутящего момента не имеет значения с точки зрения прочности. Он вызывает появление в поперечном сечении касательных напряжений, а прочность на сдвиг не зависит от направления их действия.

Для определения опасного сечения, т.е. сечения, где действует наибольший крутящий момент, необходимо построить эпюру крутящих моментов. Опасным будет являться сечение с наибольшим изгибающим моментом.

Подставляя в это равенство значения и , вычислим значения в этих точках и построим эпюру крутящих моментов. Наибольший крутящий момент возникает в заделке, где и будет наиболее опасное сечение. Анализируя эпюру крутящих моментов можно заметить, что на участках, где не действует распределенный момент М к = const, а на участках с равномерно распределенным моментом m = const, М к – линейная функция.

Читайте также:  Микроволновая печь для низкого напряжения

Заметим, опуская вывод, что при кручении оказывается справедливой дифференциальная зависимость

. (6.3)

1. На участках, где нет распределенного скручивающего момента, т.е. m=0 имеем М к = const;

2. На участках с равномерно распределенным моментом m = const, М к – линейная функция.

Аналогично тому, как это было показано при построении эпюры продольных сил, крутящий момент можно определять суммированием скручивающих моментов, расположенных с одной стороны от сечения:

. (6.4)

Совмещение формул (6.3) и (6.4) даст возможность, зная вид графика функции крутящего момента, определять его значения в характерных сечениях, причем на участках с постоянным значением функции можно выполнить одно сечение, а на участках с линейной функцией – найти значения в двух сечениях. И в том и другом случае на участках будут прямые линии, которыми и соединяются значения в характерных сечениях.

Кручение стержня круглого сечения. Напряжения. Расчеты на прочность.

При выводе формулы для касательных напряжений будут использоваться две гипотезы. Первая – гипотеза плоских сечений, которая в данном случае формулируется следующим образом. Сечения, плоские и перпендикулярные оси стержня до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси после деформации, лишь поворачиваясь относительно оси. Угол закручивания обозначим . Очевидно, что . Так, например, в стержне, показанном на рис. 6.5,уголзакручивания в заделке будет равен нулю, ана свободном конце, где приложен момент, он будет наибольшим.

Рис. 6.5. Углы поворота сечений при кручении круглого стержня

В соответствии со второй гипотезой предполагается, что при закручивании стержня радиусы в сечениях остаются прямыми.

Элементарный крутящий момент равен (рис. 6.6, а):

. (6.5)

Интегрируем полученное выражение по площади сечения.

. (6.6)

Рис. 6.6. Касательные напряжения при кручении стержня круглого сечения

При кручении стержня круглого сечения предполагается, что направление в каждой точке перпендикулярно радиусу (рис. 6.6, а). Используя закон парности касательных напряжений, можно показать, что вблизи контура сечения касательные напряжения действительно перпендикулярны радиусу (рис. 6.6, б). Произвольно направленное касательное напряжение можно разложить по двум направлениям: вдоль радиуса – и вдоль касательной к контуру сечения – Тогда в соответствии с законом парности касательных напряжений на площадке находящейся на внешней поверхности стержня и перпендикулярной площадке должно также действовать напряжение Однако, поскольку на внешней поверхности сдвиговые усилия отсутствуют , то в сечении вблизи контура действует только напряжение перпендикулярное радиусу.

Читайте также:  Защита видеорегистратора от напряжения

Для определения функции рассмотрим деформации вырезанного из стержня элемента длиной (рис. 6.7).Правое сечение повернется относительно левого сечения на угол . На рис. 6.7,а показан цилиндрический слой на расстоянии от центра тяжести. Под действием касательных напряжений он деформируется, его продольные грани поворачиваются на угол , и этот угол является угловой деформацией. Учитывая бесконечно малые размеры элемента, можно считать, что он деформируется как плоский элемент, находящийся в условиях чистого сдвига. Вычислим деформацию (рис. 6.7,б) (ввиду малости угла, его можно приравнять его тангенсу).

Источник



Расчет на прочность при кручении

Задача 3.3.1: Стержень круглого поперечного сечения диаметром d работает на деформацию кручение. Касательное напряжение в точке, которая расположена на расстоянии от оси стержня, равно . Наибольшее касательное напряжение в данном поперечном сечении стержня равно…

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Касательные напряжения в поперечном сечении круглого стержня меняются вдоль радиуса по линейному закону, а не являются постоянными.

2) Ответ верный. Эпюра распределения касательных напряжений в поперечном сечении круглого стержня имеет вид, показанный на рисунке.

Закон изменения – линейный. Следовательно, .
При решении задачи также можно воспользоваться формулой для определения касательного напряжения в произвольной точке круглого поперечного сечения
где − крутящий момент в данном сечении;
− полярный момент инерции сечения;
− расстояние от оси стержня до точки, в которой определяется касательное напряжение.
На расстоянии имеем
а на расстоянии

3) Ответ неверный! При вычислении допущена ошибка в определении . Значение

4) Ответ неверный! Получен неверный результат из-за непонимания формулы для определения касательных напряжений при кручении стержня с круглым поперечным сечением.

Задача 3.3.2: Условие прочности при кручении стержня круглого поперечного сечения с неизменным по длине диаметром имеет вид…

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1), 3) Ответ неверный! При кручении в поперечных сечениях возникают касательные напряжения.


Вдоль любого радиуса касательные напряжения изменяются по линейному закону, достигая максимальных значений в точках у поверхности. Поэтому условие прочности при кручении стержня круглого поперечного сечения с неизменным по длине диаметром имеет вид , где , , d – диаметр стержня.

4) Ответ неверный! Максимальные касательные напряжения возникают в наиболее удаленных от центра точках.

Задача 3.3.3: Из условия прочности, при заданном значении , наименьший допускаемый диаметр вала равен…
При решении принять .

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Возможна ошибка в записи выражения условия прочности.

2) Ответ неверный! Возможна ошибка при определении крутящих моментов в поперечных сечениях грузовых участков.

Читайте также:  Реле напряжения диджитоп 63а схема подключения

3) Ответ верный. Так как вал постоянного диаметра, условие прочности имеет вид
, где .
Тогда .

4) Ответ неверный! Возможна ошибка в вычислении полярного момента сопротивления поперечного сечения.

Задача 3.3.4: При кручении максимальное касательное напряжение возникает в точке…

Варианты ответов:

1) В; 2) Д; 3) А; 4) С.

Решение:

1) Ответ неверный! Точка В удалена от центра не на максимальное расстояние.

2) Ответ верный. Для определения максимального касательного напряжения используем выражение , . Точка Д – самая удаленная от центра, поэтому именно в этой точке действует максимальное касательное напряжение.

3) Ответ неверный! Возможна ошибка при использовании формулы для максимальных касательных напряжений в определении расстояния .

4) Ответ неверный! Точка С удалена от центра не на максимальное расстояние.

Задача 3.3.5: Ступенчатый стержень скручивается моментами М. Наибольшее касательное напряжение на участке диаметром d равно . Значение наибольшего касательного напряжения на участке с диаметром 2d равно…

Варианты ответов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Допущена арифметическая ошибка при определении полярного момента сопротивления.

2) Ответ неверный! Величина максимального касательного напряжения при кручении стержня с круглым поперечным сечением не уменьшается пропорционально расстоянию от оси стержня.

3) Ответ верный. При определении максимального касательного напряжения в поперечном сечении круглого стержня диаметром d воспользуемся формулой

где − крутящий момент в данном сечении;
− полярный момент сопротивления, который определяется по формуле

На обоих участках крутящие моменты одинаковы и равны М. На участке диаметром d имеем
На участке диаметром 2d получим

4) Ответ неверный! При определении максимального касательного напряжения в поперечном сечении используется формула где в знаменателе стоит полярный момент сопротивления, а не полярный момент инерции сечения. Полярный момент инерции сечения вычисляется по формуле

Задача 3.3.6: Труба испытывает деформацию кручение. Касательное напряжение в точке С поперечного сечения трубы равно . Предел текучести материала трубы при чистом сдвиге . Коэффициент запаса прочности равен …

1) 0,33; 2) 12; 3) 6; 4) 3.

Решение:

1) Ответ неверный! Коэффициент запаса прочности определяется по формуле . В нашем случае . Следовательно, .

2) Ответ неверный! При удалении от центра тяжести касательное напряжение увеличивается, и в точках у внешней поверхности трубы его значение равно , поэтому .

3) Ответ неверный! Максимальные касательные напряжения действуют в точках у внешней поверхности трубы и равны , поэтому ответ не верен.

4) Ответ верный. Максимальное касательное напряжение возникает в точках у внешней поверхности трубы и его значение в два раза больше напряжения в точке С. Поэтому коэффициент запаса прочности .

Источник