Меню

Напряжение при действии растягивающей силы

Напряжения при растяжении и сжатии.

Рассмотрим стержень, растянутый по торцам силами.

Определим в некотором произвольном сечении нормальную силу и напряжения. Воспользуемся методом сечений, рассечем стержень на две части и рассмотрим равновесие одной из них. Очевидно, что нормальная сила .

Далее, используя принцип Сен-Венана, приходим к выводу,

что напряженное состояние должно быть точно таким же, как и в случае однородного растяжения, рассмотренном выше. Таким образом, если — площадь поперечного сечения стержня, то при равномерном характере распределения напряжений. — нормальная сила равна

При растяжении (сжатии) нормальные напряжения распределены по сечению равномерно и равняются нормальной силе, деленной на площадь поперечного сечения. (1)

Нормальным силам и напряжениям предписывается знак: при растяжении плюс, при сжатии минус.

Деформированное состояние при растяжении и сжатии.

Т.к. напряженное состояние однородно, то однородным будет и деформированное состояние. Любой элемент объема будет деформироваться одинаково. Поперечные сечения стержня останутся плоскими, и будут удаляться друг от друга при растяжении и сближаться при сжатии. Этот факт можно положить в основу всей теории и сформулировать как гипотезу плоских сечений: сечения плоские и нормальные к оси до деформации остаются плоскими и нормальными к оси после деформации.

Определим удлинения и деформации, возникающие в стержне.

Пусть — длина стержня до деформации, — длина стержня после деформации. Величину называют продольным удлинением. Т.к. деформированное состояние однородно, то деформация не зависит от базы измерения. Деформация в направлении оси стержня равняется: (2) Эта величина называется относительным удлинением стержня.

Продольная деформация ( в направлении оси стержня) сопровождается поперечной: , где

— характерный размер поперечного сечения до деформации;

— то же самое после деформации.

Знаки продольной и поперечной деформаций противоположны. Продольное удлинение сопровождается уменьшением поперечных

Читайте также:  Знак напряжения при растяжении зависит от

размеров и наоборот.

Отношение деформации поперечной к деформации продольной есть для данного материала величина постоянная, называется коэффициентом Пуассона.

Для сталей эта величина колеблется в пределах 0,25 – 0,35.

Связь между напряжениями и деформациями. Закон Гука.

Как уже упоминалось ранее, между напряжениями и деформациями существует связь, которая может быть установлена лишь экспериментальным путем.

Большинство твердых тел, при сравнительно небольших нагрузках, обнаруживают свойство однозначной зависимости между напряжениями и деформациями (или между силами и перемещениями).

Например, если вспомнить известные нам из курса лабораторных работ диаграммы растяжения и сжатия малоуглеродистой стали, то можно заметить, что вплоть до значений напряжения равного — предела пропорциональности зависимость между напряжениями и деформациями близка к линейной.

Подобная картина наблюдается и у других сталей, а также, может быть менее отчетливо, у других материалов. Данный экспериментальный факт позволяет принять простейший из упругих законов – закон Гука, т.е. закон линейной упругости:

Напряжения пропорциональны деформациям

Коэффициент пропорциональности между напряжениями и деформациями называется модулем упругости первого рода (модулем Юнга). Модуль упругости определяется опытным путем и служит мерой жесткости материала. Геометрический смысл — угловой коэффициент прямолинейного начального участка диаграммы материала.

Модуль упругости для некоторых, часто применяемых материалов, имеет приблизительно следующие значения.

Отметим еще раз, что свойство упругости, в частности линей-

ной упругости, относительно. Уместно говорить не о упругих и неупругих материалах, а о упругом и неупругом состоянии материала.

Если в (3) выразить по формуле (2) и учесть (1), то получим закон Гука в форме, позволяющей находить удлинения.

Величину называют жесткостью при растяжении-сжатии. Закон (4) можно сформулировать следующим образом: удлинение стержня прямо пропорционально нормальной силе и длине стержня и обратно пропорционально жесткости при растяжении-сжатии.

Читайте также:  Рекомендуемое напряжение для светодиода

По формуле (4) можно определять удлинения только в том

случае, если нормальная сила и поперечное сечение постоянны по

длине стержня, т.е. если напряженное состояние однородно.

Если нормальная сила и поперечное сечение меняются по длине ступенчато, то стержень надо разбить на участки, так чтобы в пределах каждого участка и были постоянны, определить удлинение каждого из участков и тогда полное удлинение стержня будет равняться алгебраической сумме, (знак определяется знаком ) удлинений участков.

Если же напряженное состояние в стержне неоднородно, то выделив малый элемент длиной определим его удлинение

, Здесь и рассматривается как функции z. Полное удлинение стержня будет равно:

Дата добавления: 2018-02-15 ; просмотров: 859 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник



Напряжения и деформации при растяжении-сжатии

Растяжение или сжатие прямого бруса – это вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила. Если продольная сила направлена от сечения, то брус – растянут. В противном случае он будет сжат. Растяжение считается положительной деформацией, а сжатие – отрицательной. Если на различные участки бруса действуют разные по величине и направлению силы, то они будут находиться в различном напряженном состоянии. Напряжения в участках бруса оценивают по эпюрам напряжений.

Эпюра продольной силы в прямом брусе – это график распределения продольной силы вдоль его оси (рис. 4).

Рис. 4 Эпюра продольных сил в прямом брусе

Ось эпюры параллельна продольной оси бруса. Если на разных участках бруса действуют различные силы, то в пределах каждого участка их величина остается неизменной, а при переходе к следующему участку изменяется: противоположно направленные силы вычитаются, однонаправленные – складываются. Правильность построения эпюры проверяется по наличию скачка сил в месте приложения внешней силы. На эпюре проставляют значения реакции N = F i – F i +1 . При построении эпюры сил в закрепленном стержне используют принцип смягчения граничных условий: в точках тела, удаленных от мест приложения нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа закрепления.

Читайте также:  Выходное напряжение цифро аналогового преобразователя

При построении эпюр напряжений стержень разбивают на участки, в пределах которых силы неизменны по величине, а в пределах каждого участка учитывают изменение площади поперечного сечения. Таким образом, эпюра напряжений в общем не соответствует эпюре приложенных сил (рис. 5).

При этом используют гипотезу плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным оси.

Рис. 5 Эпюры сил и напряжений в прямом ступенчатом брусе

При растяжении и сжатии в сечении действуют только нормальные напряжения, величина которых прямо пропорциональна действующей силе N и обратно пропорциональна площади поперечного сечения Р.

По величине напряжений, действующих в теле, осуществляют расчет на прочность, под которой понимают способность тела сопротивляться разрушению по действием внешних сил.

Используется два метода расчета на прочность: проектный и поверочный. В первом случае определяют:

— предельные размеры детали по площади поперечного сечения Р = N /σ;

— выбирают материал детали по пределу прочности σ = N / Р.

Источник