Определить комплексную амплитуду напряжения мгновенное значение которого

Определить комплексную амплитуду напряжения мгновенное значение которого

Задача анализа установившегося режима в ЭЦ синусоидального тока

Среди режимов работы ЭЦ различают установившиеся и переходные режимы. Установившиеся режимы имеют место в результате сколь угодно длительного воздействия источников энергии в ЭЦ. В ЭЦ с источниками постоянного напряжения и тока токи ветвей и напряжения на них неизменны во времени. В ЭЦ с источниками периодических напряжений и токов (синусоидальных и несинусоидальных) токи в ветвях и напряжения на них являются периодическими функциями времени.

Решение задачи анализа установившегося режима в ЭЦ с источниками синусоидального напряжения и тока во временной области сводится к отысканию частного решения системы дифференциальных уравнений, записанных по законам Кирхгофа для контуров и узлов ЭЦ. Но такой расчет для цепей с числом независимых контуров более двух связан с громоздкими выкладками, вызванными тем, что искомые начальные фазы токов находятся под знаком тригонометрических функций.

Поэтому для определения амплитуд и начальных фаз синусо-идальных напряжений и токов в установившемся режиме работы ЭЦ чаще применяют метод, предложенный в конце 19 века американским инжене-ром Чарльзом Штейнметцем и получивший название метода комплексных амплитуд . Все расчеты по этому методу осуществляются на основании алгебраических соотношений с использованием понятий комплексных амплитуд синусоидальных напряжений и токов, комплекс-ных сопротивлений и проводимостей элементов ЭЦ, законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Комплексные амплитуды и комплексы

При расчете этим методом всякой синусоидальной функции времени

A m Sin ( w t+ y ) ставится в соответствие комплексное число вида

которое называется комплексной амплитудой синусоидальной величины. Как видно, комплексная амплитуда есть комплексное число, модуль которого равен амплитуде синусоидальной величины, а аргумент-начальной фазе. Как и всякое комплексное число комплексная амплитуда может быть представлена на комплексной плоскости вектором с длиной A m и углом поворота относительно вещественной оси y . (рис.3.1)

Во многих случаях пользуются понятием комплекса синусоидальной величины

т.е. комплексного числа с модулем в виде действующего значения синусоидальной величины и аргументом в виде начальной фазы.

Существует взаимно-однозначное соответствие между комплексной амплитудой и синусоидальной функцией времени. Например, мгновен-ныму значению напряжения u=25Sin(314t-30 o )B соответствует комплекс-ная амплитуда B и вектор на комплексной плоскости (рис.3.2).

Мгновенному значению тока i =10Sin(314t+45 o )B соответствует комплексная амплитуда B и вектор на комплексной плоскости (рис.3.2). Наоборот, зная комплексную амплитуду тока и частоту w , легко определить его мгновенное значение.

Примечание. Естественно, что масштабные коэффициенты при построении векторов тока и напряжения на комплексной плоскости могут быть разными.

Комплексное сопротивление и комплексная проводимость

Отношение комплексной амплитуды напряжения на зажимах двухполюсника к комплексной амплитуде тока, протекающего через эти зажимы, называется комплексным сопротивлением пассивного двухпо-люсника

Модуль комплексного сопротивления, равный отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока называется полным сопротивлением двухполюсника, т.е.

z=mod(Z)= U m / I m ,Ом.

Аргументом комплексного сопротивления является фазовый сдвиг между напряжением и током на зажимах двуполюсника, т.е.

Представляя комплексное сопротивление, как комплексное число, в алгебраической форме, получим

Z=z Cos j +j z Sin j = (Ом)

Вещественная и мнимая части комплексного сопротивления двухполюсника носят название соответственно активной и реактивной составляющих комплексного сопротивления.

Величина обратная комплексному сопротивлению называется комплексной проводимостью

Модуль комплексной проводимости, равный отношению амплитуды тока к амплитуде напряжения называется полной проводимостью двухполюсника, т.е.

y=mod(Y)= I m / U m ,Сим.

Аргументом комплексной проводимости является фазовый сдвиг между напряжением и током на зажимах двуполюсника, взятый со знаком (-)

Представляя комплексную проводимость, как комплексное число, в алгебраической форме, получим

Y=y Cos j -j y Sin j = , Ом.

Вещественная и мнимая части комплексной проводимости двухполюсника носят название соответственно активной и реактивной составляющих комплексной проводимости.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Введение понятий комплексного сопротивления и комплексной проводимости означает, по-существу, введение закона Ома в комплексной форме для установившегося синусоидального режима

Комплексная амплитуда напряжения на зажимах пассивного двухполюсника равна комплексной амплитуде тока, умноженной на комплексное сопротивление двухполюсника.

Пример 1. Через зажимы двухполюсника с комплексным сопротивлением Z=40e j30 Ом протекает синусоидальный ток i =3 Sin (314 t + 15 o ) A. Определить напряжение u(t) на зажимах двухпо-люсника.

Находя комплексную амплитуду тока =3е j15 и зная комплексное сопротивление двухполюсника, на основании закона Ома в комплексной форме определяем комплексную амплитуду напряжения

=3е j15 ґ 40e j30 =120 е j45 В.

Следовательно, мгновенное напряжение равно u=120 Sin (31 4 t + 45 o ), B.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме : Сумма комплексных амплитуд токов ветвей, сходящихся в узле равна нулю, т.е.

Поскольку каждое слагаемое в представленном выражении есть вектор, то результат есть сумма векторов. Это обстоятельсво позволяет контролировать аналитические расчеты наглядными графическими построениями-векторными диаграммами.

Пример 2 В узле ЭЦ сходятся 3 ветви с синусоидальными токам одной частоты (рис.3.3,а).

Мгновенные значения токов i 2 и i 3 определяются выражениями i 2 = 100 Sin( 100t-45 o ) и i 3 = 50 Sin( 100t+30 o ). Требуется определить ток i 1 , пользуясь методом комплексных амплитуд.

Решение. На основании первого закона Кирхгофа в комплексной форме находим

I’ m1 =I’ m2 -I’ m3 , где I’ m2 =100e -j45 , I’ m3 =50e j30 .

I’ m1 = 100e -j45 — 50e j30 = 100Cos45 o — j100Sin45 o -50Cos30 o -j50Sin30 o =

=27.4-j97.5= @ 101e -j74 A.

Построив вектора токов на комплексной плоскости (рис.3.3,б), убеждаемся, что сумма их действительно равна 0.

Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим i 1 = 101 Sin( 100t-74 o ), А.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме- в установившемся синусоидальном режиме сумма комплексных амплитуд ЭДС источников напряжений в контуре равна сумме комплексных амплитуд падений напряжений на элементах контура. Если контур содержит N источников напряжений и L пассивных элементов, то математически это положение формулируется следующим образом

Пример 3. Известны мгновенные значения напряжений на элемен-тах контура ( рис.3.4,а) u 1 = 10 Sin( 100t-45 o ) B, u 2 = 25 Sin( 100t+30 o )B, u 3 = 5 Sin( 100t+60 o )B. Требуется определить мгновенное значение ЭДС источника напряжения.

Решение. На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и ЭДС находим e= u 1 + u 2 + u 3 .

Переходя к комплексам, получим , где

10Cos45 o -j10Sin45 o +25Cos30 o +j25Sin30 o +5Cos60 o + j5Sin60 o =

=30.75+j9.75= @ 32.3e j18 в.

Построив вектора напряжений на комплексной плоскости (рис.3.4,б ) убеждаемся, что сумма их действительно равна вектору ЭДС. Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим e= 32.3 Sin( 100t+18 o ), В.

Источник

Комплексные амплитуды, комплексные действующие значения, комплексы действующих значений

Комплексные амплитуды напряжения

U ˙ m = U m e j α u

I ˙ m = I m e j α i

при анализе установившегося синусоидального режима соответствуют сигналам синусоидальной формы напряжения

u(t) = U_mcos(ωt + α_u)

i(t) = I_mcos(ωt + α_i).

Комплексные амплитуды представляют векторами на комплексной плоскости, как комплексное число (рис. 21)

A ˙ = A e j γ = A cos γ + j A sin γ = a + j b ,

где модуль (длина вектора)

A = | A ˙ | = a 2 + b 2 ,

γ = a r c t g b a ,

действительная часть комплексного числа

Re A ˙ = A cos γ = a ,

мнимая часть комплексного числа

Im A ˙ = A sin γ = b ,

j 2 = − 1, j ⋅ ( − j ) = − j 2 = − ( − 1 ) = 1, 1 j = j j 2 = j − 1 = − j .

Сопряженное комплексное число

A * = A e − j γ = A cos ( − γ ) + j A sin ( − γ ) = A cos γ − j A sin γ = a − j b ,

где положительный отсчет угла γ производят против часовой стрелки от «правого горизонта».

Комплексные амплитуды используют при обосновании метода комплексных амплитуд для расчета установившегося синусоидального режима

u ( t ) = Re U ˙ m e j ω t = Re U m e j α u e j ω t = Re U m e j ( ω t + α u ) = U m cos ( ω t + α u ) ; i ( t ) = Re I ˙ m e j ω t = Re I m e j α i e j ω t = Re I m e j ( ω t + α i ) = I m cos ( ω t + α i ) ,

где e j ω t – оператор вращения, U ˙ m e j ω t , I ˙ m e j ω t – вращающиеся векторы, поскольку их суммарная фаза γ = ωt + α равномерно увеличивается с увеличением времени t.

Комплексные действующие значения или комплексы действующих значений:

комплексное действующее напряжение или комплекс действующего напряжения

U ˙ = U e j α u = U ˙ m 2 = U m 2 e j α u ,

комплексный действующий ток или комплекс действующего тока

I ˙ = I e j α i = I ˙ m 2 = I m 2 e j α i .

Источник



Метод комплексных амплитуд

2015-05-26
18712

Расчет линейных электрических цепей переменного тока

Учебно-методическая разработка к выполнению контрольных заданий

Г. Пенза 2005 г.

Даны методические указания к выполнению расчетно-графических работ по анализу цепей переменного тока.

Работа выполнена на кафедре «Электроника и электротехника» Пензенской государственной технологической академии и предназначена для студентов специальностей 2201, 2102, 1201, 0706, 1706, 3302, 0305.

Ил. 14, табл. 5, библ. назв. 3.

Составители: Ю.А. Смагин, Л.М. Вдовина, Фролов Г.В.

Рецензент: Зав. каф. «ВМиС» ПГТА, процессор Сальников И.И.

Общие методические указания

Расчет линейных цепей переменного тока сводится к расчету токов в ветвях и напряжений на отдельных участках цепи. При одном источнике электрической энергии в схеме основными расчетными уравнениями являются уравнения, составленные на основе законов Ома и Кирхгофа.

Широкое распространение на практике получил метод комплексных амплитуд, использующий алгебру комплексных чисел и позволяющий применять все методы расчетов цепей постоянного тока к цепям переменного тока.

Метод комплексных амплитуд

Метод комплексных амплитуд основан на представлении синусоидальных функций через экспоненты с мнимым аргументом. Аналитически комплексное число можно представить в алгебраической, тригонометрической и показательной форме:

где и — вещественная и мнимая составляющая, — модуль комплексного числа, — аргумент комплексного числа.

Геометрически комплексное число представляется вектором на комплексной плоскости с прямоугольными (рис. 1) или полярными координатами (рис. 2).

Модуль и аргумент комплексного числа можно найти из прямоугольного треугольника (рис. 1):

Разложим по формуле Эйлера выражение :

На плоскости комплексная амплитуда изображается вектором, аргумент которого равен начальной фазе , а длина пропорциональна вещественной амплитуде (рис. 3).

Комплекс действующего значения равен комплексной амплитуде, деленной на .

Комплексное сопротивление представляет собой отношение комплексных амплитуд напряжения и тока:

— модуль реактивного сопротивления;

— модуль индуктивного сопротивления;

— модуль емкостного сопротивления;

— модуль комплексного сопротивления.

Закон Ома для цепи синусоидального тока запишется в виде: ,

где — комплекс действующего значения тока;

— комплекс действующего значения э.д.с.;

Первый закон Кирхгофа для цепи синусоидального тока записывается, как .

Алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов, сходящихся в узле, равна нулю.

Второй закон Кирхгофа выражается, как

Алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжений на элементах контура равна алгебраической сумме комплексных амплитуд э.д.с. источников этого контура.

В таблице 1 приведены элементы , , , уравнения для мгновенных значений и , связь между ними, закон Ома, векторные диаграммы.

Правильность расчетов линейных электрических цепей переменного тока проверяется по балансу активной мощности.

где — комплекс действующего значения э.д.с.;

— сопряженный комплекс действующего значения тока, например, , то ;

— действующее значение тока в ветви с активным сопротивлением .

Мощность в цепи переменного тока можно подсчитать и по действующим значениям тока и напряжения.

где — активная мощность, [Вт];

— реактивная мощность, [ВАр];

— полная мощность, [ВА];

— действующие значения напряжения и тока соответственно;

— угол сдвига фаз между напряжением и током, (рис. 4).

Источник