Меню

Определить операторное изображение тока

3. Операторный метод расчета переходных процессов

3.1. Введение к операторному методу

Операторный метод основан на использовании понятия об изображении функций времени. В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и наоборот— функции переменной р отвечает определенная функция времени.

Переход от функции времени к функции от р осуществляют с помощью прямого преобразования Лапласа.

Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов представляет собой метод расчета, основанный на преобразовании Лапласа.

Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, а операцию интегрирования — к делению. Это облегчает интегрирование дифференциальных уравнений.

В операторном методе расчет делится на две части:

1. Осуществляют переход в область изображений (оригинал переводят в изображение не как в фотографии, а преобразование). С помощью преобразования Лапласа дифференциальные уравнения переходных процессов удается заменить алгебраическими;

2. Находят решения в операторной области и осуществляют возврат в область оригинала. В общем случае обратное преобразование осуществляют с помощью интеграла Бромвича. В электрических задачах этим интегралом не пользуются, а применяют теоремуразложенияилиинтеграл сверток.

Оригинал– это любая функция или параметр цепи в области времени.

Изображение – это преобразованный оригинал с помощью интеграла Лапласа.

р— оператор Лапласа (в общем случае может быть комплексным числом).

Интеграл прямого преобразования Лапласа имеет вид:

.

Если есть оригинал f(t), от которого можно взять интеграл Лапласа, то ему соответствует изображениеF(p).

3.2. Изображения по Лапласу основных электрических величин, используемых при расчетах переходных процессов

Изображение по Лапласу оригинала в виде постоянной во времени величины

Пусть оригинал является постоянной величиной f(t)=U =const. Вычислим интеграл Лапласа:.

Постоянной величине в области изображения соответствует эта же постоянная, делённая на оператор «р».

Не всегда размерность оригинала соответствует размерности изображения.

Существует такое преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, в котором совпадают размерности – это преобразование Карсона: C(p)=pF(p).

Преобразование Карсона здесь рассматривать не будем.

Изображение показательной функции

Если , то изображение:

Таким образом: .

Отсюда вытекает ряд важных следствий. Положив =j, получим

Функции е t соответствует изображение:

Если функция времени представляет собой синусоидальную величину, например, ЭДС , тоE(p), при, равно:

.

Изображение по Лапласу комплексной величины

Пусть, тогда, и функция времени может быть выражена через комплекс напряжения. Подвергнем вращающийся комплекс преобразованию Лапласа:.

Изображение по Лапласу производной функции времени

Известно, что функ­ции f(t) соответствует изображение F(р). Требуется найти изображение первой производной, если известно, что значение функцииf (t)приt=0равно f(0).

Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

Интегрирование произведем по частям. Обозначив и,

Имеем:

Следовательно, .

Но a

Таким образом,

Изображение напряжения на индуктивности

Исходить будем из условия, что оригиналу тока i соответствует изображение тока I(р). Запишем оригинал напряжения на индуктив­ности:

По формуле определим изображение производной тока:

где t (0)- значение тока i при t=0.

Следовательно, . Если i(0)=0, то

Изображение второй производной

Следовательно, изображение второй производной тока i.

Изображение интеграла функции времени

Требуется найти изображение функции , если известно, что изображение функции f(t) равно F(р).

Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

и возьмем интеграл по частям:

Первое слагаемое правой части при подстановке и верхнего и ниж­него пределов дает нуль. При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию f(t): функцияf(t)если и растет с увеличениемt, то все же медленнее, чем растет функцияе at , гдеа– действительная частьр. При подстановке нижнего предела нуль получается за счет обращения в нуль. Следовательно, еслито

Изображение напряжения на конденсаторе

Напряжение на конденсаторе часто записывают в виде, где не

указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись: где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекавшим через конденсатор в интер­вале времени от 0 до t, но и тем напряжениемкоторое на нем было при t=0. В соответствии с формулой Лапласа изображениеравно, а изображение постояннойесть постоянная, деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе запи­сывают следующим образом:

Источник

Операторный метод расчета электрических цепей. Четырехполюсники

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

С. И. М а с л е н н и к о в а

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.

ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ

Пособие по выполнению домашних заданий

и подготовке к рубежному контролю.

Издательство МГТУ им.

Раздел 1. Расчет переходных процессов операторным методом

Анализ переходных процессов в электрических цепях может быть проведен как классическим, так и операторным методом. Достоинством классического метода является его наглядность. Анализ переходных процессов классическим методом позволяет установить связь между откликом и воздействием на всех этапах расчета. Недостатком этого метода является сложность и трудоемкость определения корней характеристического уравнения, постоянных интегрирования из начальных условий при высоком порядке дифференциального уравнения, а также сложность определения вынужденной составляющей отклика при сложной форме входного воздействия.

Во многих случаях более удобным является операторный метод анализа переходных процессов. Суть этого метода заключается в том, что решение из области функций действительного переменного переносится с помощью преобразования Лапласа в область функций комплексного переменного s, при этом система интегродифференциальных уравнений, составленная для мгновенных значений токов и напряжений, преобразуется в систему алгебраических уравнений для операторных изображений соответствующих токов и напряжений. Решая эту систему уравнений, определяют изображения искомых функций. Затем осуществляют обратный переход к оригиналу (то есть к временным зависимостям токов и напряжений). Этот переход осуществляют с помощью таблиц оригиналов и изображений или по формуле разложения.

Следует отметить, что при переходе к системе алгебраических уравнений в них появляются дополнительные слагаемые, учитывающие независимые начальные условия. Структура этих уравнений позволяет составить расчетную операторную схему замещения, для расчета которой можно использовать методы расчета сложных электрических цепей.

Порядок расчета переходных процессов операторным методом

1. Рассчитываем схему до коммутации и определяем независимые начальные условия.

2. Составляем операторную схему замещения после коммутации. При этом изображения заданных источников энергии находим по таблице оригиналов и изображений, а каждый пассивный заменяем его операторным изображением.

В операторной схеме замещения резистивному элементу с параметром R соответствует операторное сопротивление с параметром R.

Операторная схема замещения индуктивного элемента состоит из двух последовательно соединенных элементов: пассивного с параметром Ls и активного – ЭДС EL(s)=LiL(), учитывающего независимое начальное условие iL(). Направлена эта ЭДС по току iL().

Операторная схема замещения емкостного элемента также состоит из двух последовательно соединенных элементов: пассивного с параметром 1/Cs и активного — ЭДС EC(s)=uC()/s, учитывающего независимое начальное условие uC(). Направлена эта ЭДС встречно направлению uC().

3. Рассчитываем полученную схему замещения любым рациональным методом расчета сложных электрических цепей. В результате расчета определяем изображение искомого тока (напряжения).

4. Переходим от изображения к оригиналу.

Для схемы рис. 1.1 составить операторную схему замещения, если известны u(t), R, L, C, и указать на схеме изображения напряжений на элементах R,L,C.

Рассчитываем схему до коммутации и определяем iL(t), uC(t). Подставив в полученные выражения время t=, получим значения iL(-), uC(-). В соответствии с законами коммутации

iL(-)= iL(+)= iL(), uC(-)= uC(+)= uC().

Читайте также:  Система токов нулевой последовательности

Изображение входного напряжения U(s) определяем по таблице оригиналов и изображений. Схема замещения представлена на рис. 1.2.

Для схемы рис. 1.3 найти закон изменения тока в индуктивности после коммутации, если дано:

1. Рассматриваем схему до коммутации (рис. 1.4) и определяем ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости для момента времени из уравнений:

В соответствии с законами коммутации получим:

2.После коммутации составляем операторную схему замещения (рис. 1.5) с учетом начальных условий. Изображение источника тока определяем по таблице оригиналов и изображений.

3. Рассчитываем ток I1(s) методом контурных токов.

Подставляем в полученное выражение исходные данные и приводим его к табличному виду:

Изображение искомого тока равно

4. Пользуясь таблицей оригиналов и изображений, находим оригинал:

Для схемы рис.1.6 определить ток в цепи после коммутации, если дано: U=100 В, R=10 Ом, C=1 мкФ.

Получить полный текст Подготовиться к ЕГЭ Найти работу Пройти курс Упражнения и тренировки для детей

1. Рассчитываем схему до коммутации в установившемся режиме и определяем напряжение на емкости:

2. Операторная схема замещения после коммутации представлена на рис. 1.7.

3. Изображение искомого тока определяем из уравнения:

4. Закон изменения тока определяем по таблице:

Для схемы рис.1.8 определить напряжение на индуктивности, если дано:

1. Определяем значение тока в индуктивности в схеме до коммутации (рис. 1.9).

Так как в установившемся режиме при действии в схеме постоянных источников индуктивность имеет нулевое сопротивление, то ток i3(0-)=0. Остальные токи определяем по уравнениям Кирхгофа:

2. Операторная схема замещения представлена на рис. 1.10.

3. Напряжение на индуктивности определяем по методу узловых потенциалов:

4. Подставляем в полученное выражение исходные данные и приводим его к табличному виду

и определяем по таблице закон изменения напряжения на индуктивности

Для схемы рис.1.11 определить ток в схеме, если дано: входное напряжение (рис. 1.12) имеет параметры U=10 B, t1=0.01 c; параметры схемы R=100 Ом, C=100 мкФ.

Рис. 1.11 Рис. 1.12

1. Так как до коммутации входное напряжение было равно нулю, то uC()=0.

Для представления входного напряжения в операторной форме необходимо предварительно записать его в аналитическом виде:

2. Операторная схема замещения представлена на рис. 1.13.

3. Ток в схеме равен:

4. Закон изменения тока определяем по таблице, при этом для второго слагаемого I(s) используем теорему запаздывания:

Раздел 2. Частотные характеристики четырехполюсников

Аналитические выражения АЧХ и ФЧХ четырехполюсника можно получить, используя операторную передаточную функцию. Если по условиям задачи требуется определить передаточную функцию по напряжению, где выходным напряжением является напряжение на каком-либо участке цепи, то этот случай можно рассматривать как режим холостого хода для четырехполюсника. Рассмотрим несколько примеров.

Для схемы рис. 2.1 определить операторную передаточную функцию по напряжению ненагруженного четырехполюсника, используя которую, получить аналитическое выражение комплексной передаточной функции, а также АЧХ и ФЧХ, если дано: R=10 Ом, L=10 мГн, С=100 мкФ.

Учитывая, что через все элементы цепи протекает один и тот же ток (режим холостого хода), выведем операторную передаточную функцию:

Комплексную передаточную функцию получим, используя предельный переход, то есть полагая

Записывая полученную функцию в показательной форме, находим выражения АЧХ и ФЧХ в аналитическом виде:

Откуда АЧХ (рис.2.2),

Для схемы рис. 2.4 определить операторную передаточную функцию по напряжению ненагруженного четырехполюсника, используя которую, получить аналитическое выражение комплексной передаточной функции, а также АЧХ и ФЧХ, если дано: R=100 Ом, С=10 мкФ.

Операторная и соответственно комплексная передаточная функции четырехполюсника равны:

Графики АЧХ и ФЧХ представлены на рис. 2.5 и 2.6.

Раздел 3. Определение параметров четырехполюсника в форме А.

Параметры четырехполюсника можно определить экспериментально или рассчитать теоретически. Если структура четырехполюсника известна, то коэффициенты уравнений вычисляют, записав уравнения четырехполюсника и преобразовав их к виду уравнений требуемой формы. При этом используется метод холостого хода и короткого замыкания. Система уравнений формы А соответствует передаче энергии от источника нагрузке, она получила наибольшее распространение. Рассмотрим определение параметров четырехполюсника формы А.

Определить А-параметры четырехполюсника (рис.3.1), если дано: R=20 Ом.

Используем основную систему уравнений в форме А

1. Проводим опыт холостого хода (рис. 3.2), I20=0. При этом уравнения принимают вид: .

Из схемы рис. 3.2, учитывая, что , получим:

2. Проводим опыт короткого замыкания (рис. 3.3), U=0. При этом уравнения принимают вид:

Пользуясь схемой рис. 3.3, получим:

так как сопротивления параллельных ветвей одинаковые.

Определить А-параметры и входное сопротивление четырехполюсника (рис. 3.4) при сопротивлении нагрузки

Z=300 Ом, если дано:

1. Из опыта холостого хода получим:

2. Из опыта короткого замыкания получим:

, так как сопротивление R закорочено,

3. Входное сопротивление нагруженного четырехполюсника равно:

Источник



Определить операторное изображение тока

3.5 Расчёт переходных процессов операторным методом

Операторный метод расчета переходных процессов основывается на использовании линейного интегрального преобразования Лапласа

где в качестве параметра участвует комплексная переменная p=s+ jω. Применение этого преобразования сводит функцию времени к зависимости от этого параметра. Большинство исследуемых в электротехнике функций времени имеют в качестве изображения по Лапласу дробно-рациональную функцию, которую называют операторным изображением (см.Таблицу 4), а саму функцию времени — оригиналом. Из приведенных в таблице примеров следует вышеприведенное утверждение, что использование преобразования Лапласа неизбежно сводит любую временную функцию к дробно-рациональной функции вида полином, деленный на полином от переменной p.

Таблица операторных изображений.

Изображение F ( t )

Однотипность получаемых изображений говорит о том, что это преобразование настолько «сильное», что при его использовании любые интегральные и дифференциальные временные соотношения сводятся также к алгебраическим выражениям. Следовательно, применив это преобразование к системе интегро-дифференциальных уравнений, получим систему алгебраических уравнений, зависимых от комплексной переменной p. Этот прием уже был использован ранее при анализе цепей синусоидального тока, где была показана возможность перехода посредством мнимой комплексной переменной jω к комплексным амплитудам токов и напряжений с последующим формальным анализом как бы цепи постоянного тока [1]. Операторный метод является развитием метода комплексных амплитуд, в обоих методах исходные, т.е. временные выражения, заменяют более простыми алгебраическими, которые в данном случае называют операторными.

Так же как и в методе комплексных амплитуд, постоянные параметры цепи — r, L, C переходят из оригинала в изображение и обратно без каких-либо изменений в качестве коэффициентов. В комплексном методе производная d/ dt заменяется произведением jω, а в операторном — множителем p; соответственно интеграл во временной области заменяется в комплексном методе на 1/ jω, а в операторном — на 1/p. Вместо комплексных амплитуд напряжения или тока записывают операторные выражения U(p), I(p). Имеет место только разница в записи постоянных источников напряжения и тока: E=const, J=const ;их операторные изображения принимают вид: E(p) = E/p; J(p) = J/p (см. табл.4, п.2).

Применяя преобразование Лапласа к компонентным соотношениям (3.5), связывающим токи и напряжения в каждом элементе цепи, можно установить правило перехода от реальной цепи к операторной. Это правило приведено в таблице 5.

Исходная электрическая цепь

Операторная расчетная цепь

Из таблицы следует, что резистивный элемент r преобразуется в операторный образ без изменения, и закон Ома в операторной форме имеет тот же вид, что и для переменной t: U(p) = rI(p). Индуктивность L заменяется операторным сопротивлением Z L = p L и источником напряжения Li L (0), направление действия которого совпадает с направлением тока в индуктивности к моменту коммутации. Емкость С заменяется операторным сопротивлением Z C = 1/p C и источником напряжения u C (0)/p; направление действия источника противоположно напряжению на емкости к моменту коммутации, т.е. направлено в сторону разряда емкости на внешнюю цепь. Независимые источники энергии заменяются на операторные образы, для чего могут быть использованы изображения функций, указанные в таблице 4. Можно эти изображения найти непосредственно путем использования прямого преобразования Лапласа (3.32). Пользуясь этой таблицей соответствия, легко построить операторную расчетную цепь, которая в дальнейшем рассчитывается как цепь постоянного тока. Из рассмотренного следует, что расчет переходного процесса операторным методом целесообразно начинать сразу с операторной схемы замещения, минуя этап составления системы интегро-дифференциальных уравнений.

Читайте также:  Ток в родительном падеже множественного числа

Операторная расчетная схема замещения позволяет найти изображения токов и напряжений всех ветвей. Для расчета могут быть применены все известные методы расчета цепей постоянного тока: законы Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения, простейшие преобразования и т.д. Компонентные уравнения цепи, связывающие ток и напряжение в каждом элементе или ветви, записываются в операторных образах аналогично цепям постоянного тока [1].Все найденные операторные изображения токов и напряжений имеют однотипный характер в виде дробно-рациональной функции, где полином числителя по степеням p делится на полином знаменателя.

В большинстве случаев выполняется условие n>m, т.е. степень числителя меньше степени знаменателя и дробь правильная. Если же степени равны, то нужно путем деления полиномов выделить целую часть, и от этой части обратное преобразование Лапласа приводит к появлению в решении дельта-функции (см. табл.4,п.3). Та часть решения, которая определяется правильной дробью, позволяет найти оригинал путем применения Теоремы разложения, основанной на возможности представления дробно-рациональной функции в виде суммы простейших дробей. Формула обратного преобразования имеет вид

где p k — корни знаменателя, которые находятся из уравнения F2(p) = 0. Будем рассматривать случай разных вещественных отрицательных корней;

производная от знаменателя по переменной p; F1(p k ) — полином числителя, где вместо p подставлен корень p k .

Часто бывает так, что в полиноме F2(p) слагаемое b = 0. Тогда множитель p можно вынести за скобку, и знаменатель принимает вид F2 = p F3. В этом случае при наличии n корней первый корень уравнения p F3(p) = 0 будет нулевым: p1 = 0. Для этого частного случая Теорема разложения принимает вид

т.е. в решении появляется слагаемое, которое не зависит от времени. Это слагаемое соответствует принужденной составляющей искомого тока или напряжения.

Пример 3.8. Для цепи второго порядка (рис.3.16а), рассмотренной в примере 3.4, найти операторным методом ток и напряжение на емкости после размыкания ключа S. Параметры цепи: E =40 B; r =40 Ом; L = 1 Гн; C = 1/300 Ф.

Решение задачи начинаем с изображения операторной цепи, которая соответствует послекоммутационному состоянию цепи (рис.3.27). Начальные условия для внутренних источников энергии находятся для момента времени t = 0- так же, как это было сделано при решении задачи классическим методом: i L (0-) = E/ r = 1 A; u C (0-) = E = 40 B. В операторной одноконтурной цепи протекает операторный ток I(p) под действием операторных источников напряжения.

Рис. 3.27. Операторная расчетная цепь

Формально рассматривая эту цепь как цепь постоянного тока, найдем

После подстановки численных значений параметров получим

Приравнивая нулю знаменатель, найдем корни

Следует заметить, что знаменатель совпадает с характеристическим полиномом для исследуемой цепи. Именно такое уравнение исследовалось в классическом методе при решении Примера 3.4. Далее найдем производную знаменателя

Применим Теорему разложения и найдем оригинал тока как функцию времени

Полученный ответ полностью совпадает с выражением, полученным ранее.

Операторное напряжение на емкости следует определять как сумму

напряжений непосредственно на сопротивлении Z = 1/p C и на внутреннем

источнике напряжения u C (0-)/p. Для этого можно воспользоваться обобщенной формой закона Ома:

После подстановки числовых данных и приведения подобных получим

Используя те же корни знаменателя, найдем оригинал

Результат с точностью до знака совпадает с ранее полученным выражением. Различие в знаках объясняется другим выбором условного положительного направления напряжения на емкости по сравнению с примером 3.4

Теорема разложения может быть использована и в случае комплексно-сопряженных корней p1 = — β + jω C и p2 = — β — jω C . Рассмотрим этот случай на примере только что решенной задачи с измененным емкостным параметром С = 0.0005 Ф. Аналогично рассмотренному ранее найдем операторный ток

Приравнивая знаменатель к нулю F2(p) = p 2 + 40p + 2000 = 0, найдем корни p1 = -20 + j40 и p2 = -20 — j40, после чего выполним формальную подстановку корней в выражение (3.34):

Полученное выражение для тока совпадает с выражением (3.28) не только по форме, но и численно. Особенность математических преобразований заключается в том, что при суммировании двух комплексно-сопряженных выражений вещественные части суммируются, а мнимые взаимно сокращаются. Поэтому для пары комплексно-сопряженных корней результирующее выражение может быть найдено по формуле

т.е. путем умножения на два вещественной части выражения, которое получается после подстановки в формулу (3.34) любого из комплексно-сопряженных корней. Для рассматриваемого примера и выражения (3.36) применение формулы (3.37) после подстановки первого корня p1 = -20 + j40 даст тот же результат:

Ответ будет тем же, если вместо первого корня подставим второй корень p2 = -20 — j40.

Пример 3.9. В цепи рис.3.28 исследовать переходный процесс после размыкания ключа S. Найти зависимости i1( t) и u C ( t). Параметры цепи: E=100 B; J = 1 A; r1 = r2 = 10 Ом; L = 0,1 Гн; C = 1000 мкФ.

Рис. 3.28. Схема RLC — цепи с двумя независимыми источниками питания.

Решение задачи начинаем с определения основных начальных условий. До коммутации в индуктивности протекал ток i L (0-) = E/ r1 = 10 A, который замыкался через ключ S и короткозамкнутую перемычку. Напряжение на емкости равнялось нулю u C (0-) = 0, так как емкость была подсоединена параллельно короткозамкнутой перемычке. После размыкания ключа к цепи подсоединяется источник тока J, и в цепи развивается переходный процесс с участием индуктивности и емкости.

Рис. 3.29. Операторная схема замещения цепи.

а)Исходная цепь. б)Преобразованная цепь.

Операторная схема цепи представлена на рис.3.29а. Следует обратить

внимание на то, что в данном примере не требуется показывать внутренний источник энергии для емкости, т.к. начальные условия на емкости нулевые. Остальные операторные сопротивления равны

Операторная схема цепи формально соответствует разветвленной цепи

постоянного тока, где сопротивления Z2 и Z C соединены параллельно, и их

В преобразованной цепи рис.3.29б неизвестны токи I1 и IЭ = I2 + IС . Определим их, составив два уравнения по законам Кирхгофа

Найдем из системы ток I1:

После подстановки в выражение для тока численных значений параметров найдем

Знаменатель F = p F(p) имеет один нулевой корень p1 = 0 и два комплексно-сопряженных корня p2 = -100 + j100 и p3 = -100 — j100. При наличии нулевого корня целесообразно воспользоваться Теоремой разложения в форме (3.35), а с учетом характера корней окончательно записать форму обратного преобразования в виде (3.37):

Читайте также:  Рекуперативное торможение электродвигателей постоянного тока

где = dF3/ dp = 0,002p + 0,2. После формальной подстановки численных значений найдем оригинал тока

Характер переходного процесса определяется суммой установившегося значения 4,5 A и затухающей синусоиды. Ток начинает свое изменение со значения 10 A и, постепенно колеблясь и затухая, достигает уровня 4,5 A.

Напряжение на емкости в операторной форме найдем по закону Ома

Выполнив все алгебраические преобразования, после подстановки численных значений и применения Теоремы разложения получим

Переходный процесс для емкости начинается с нулевого значения, а затем принимает колебательно-затухающий характер и стремится к уровню 55 B. Тот же результат можно найти путем решения обратной задачи с использованием найденной временной функции i1( t). Для этого следует составить уравнение равновесия для контура, включающего ветви с емкостью и известным током i1:

Изучение материала третьего раздела пособия рекомендуется завершить решением задач Приложения 3. Вариант выбирается самостоятельно или указывается преподавателем.

Источник

Определить операторное изображение тока

Сущность операторного метода заключается в том, что функции вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение заданной функции определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

Следует отметить, что если оригинал увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1. Изображения типовых функций

Оригинал Изображение
A

Некоторые свойства изображений

    Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

  • При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:
  • С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

    Изображения производной и интеграла

    В курсе математики доказывается, что если , то , где — начальное значение функции .

    Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

    или при нулевых начальных условиях

    Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

    Аналогично для интеграла: если , то .

    С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

    или при нулевых начальных условиях

    откуда операторное сопротивление конденсатора

    Закон Ома в операторной форме

    Пусть имеем некоторую ветвь (см. рис. 1), выделенную из некоторой

    сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

    Для мгновенных значений переменных можно записать:

    Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

    где — операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

    Следует обратить внимание, что операторное сопротивление соответствует комплексному сопротивлению ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

    Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

    Законы Кирхгофа в операторной форме

    Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю

    Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

    При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

    В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3 для двух случаев: 1 — ; 2 — .

    В первом случае в соответствии с законом Ома .

    Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

    Переход от изображений к оригиналам

    Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

    1. Посредством обратного преобразования Лапласа

    которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

    На практике этот способ применяется редко.

    2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

    В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

    Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

    Тогда в соответствии с данными табл. 1

    что соответствует известному результату.

    3. С использованием формулы разложения

    Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов

    Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

    где — к-й корень уравнения .

    Для определения коэффициентов умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

    Рассматривая полученную неопределенность типа по правилу Лопиталя, запишем

    Поскольку отношение есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

    Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

    В заключение раздела отметим, что для нахождения начального и конечного значений оригинала можно использовать предельные соотношения

    которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.

    1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
    2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
    3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

    Контрольные вопросы

    1. В чем заключается сущность расчета переходных процессов операторным методом?
    2. Что такое операторная схема замещения?
    3. Как при расчете операторным методом учитываются ненулевые независимые начальные условия?
    4. Какими способами на практике осуществляется переход от изображения к оригиналу?
    5. Для чего используются предельные соотношения?
    6. Как связаны изображение и оригинал в формуле разложения? Какие имеются варианты ее написания?

    С использованием теоремы об активном двухполюснике записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.

    С использованием предельных соотношений и решения предыдущей задачи найти начальное и конечное значения тока в ветви с индуктивным элементом.

    Источник