Меню

Расчет цепей переменного тока в комплексной форме

Комплексный метод расчета цепей переменного тока

Тригонометрическая форма расчета электрических цепей практически применима только для простейших цепей, не содержащих большого числа контуров и источников, поэтому широкое применение получил алгебраический метод, позволяющий рассчитывать цепи переменного тока аналогично цепям постоянного тока – комплексный метод (метод комплексных амплитуд, или символический метод).

Комплексное число, соответствующее точке, в которой лежит конец вектора (рис. 2.16), может быть записано в следующих формах: алгебраической = a1 + ja2; тригонометрической = a(cosα + jsinα); показательной = a·e jα и полярной (угловой) = a·∟α,

где: a1 = a·cosα = Re[ ] – действительная (вещественная) часть комплексного числа ;

a2 = a·sinα = Im[ ] – мнимая часть комплексного числа ;

– мнимая единица, или оператор поворота на угол

Рис. 2.16. Изображение вектора на комплексной плоскости

π/2 = 90° (умножение на j сводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол π/2, а умножение на к повороту вектора на прямой угол по часовой стрелке);

– модуль комплексного числа (всегда положителен);

– угол или аргумент комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа получается из формулы Эйлера:

cosα ± j·sinα = e ± jα

Комплексное число = a1ja2 = ae — jα называется комплексно-сопряженным числу = a1 + ja2 = ae jα . Произведение компексно-сопряженных чисел – число действительное, равное квадрату их модуля:

Умножение комплексного числа ae jα на число е jφ сводится к повороту вектора а в комплексной плоскости на угол α + φ:

ae jα · e jφ = ae j ( α + φ ) .

Сложение и вычитание комплексных чисел производится в алгебраической форме:

Умножение и деление комплексных чисел может производиться в алгебраической и показательной формах:

Возведение в степень производится следующим образом:

(ae jα ) n = a n e jαn = a n (cosαn + jsinαn).

Рассмотрим проекции вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω вектора (рис. 2.17). Проекция на действительную ось – Im cosα. Проекция на мнимую ось – jIm sinα.

Рис. 2.17. Проекции вращающегося вектора на комплексную плоскость

Тогда согласно формуле Эйлера

Угол α может быть любым. Если α = ωt + ψ, где ψ – начальная фаза, то

Im e j (ω t + ψ ) = Im cos (ωt + ψ) + jIm sin (ωt + ψ),

где: Im cos (ωt + ψ) – действительная часть комплексного числа;

jIm sin (ωt + ψ) – мнимая часть комплексного числа.

Для единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени ωt = 0. Для этого момента времени вектор Im e j (ω t + ψ ) будет равен Im e jψ = , где – комплексная амплитуда тока, модуль ее равен 1т, а угол α на комплексной плоскости равен начальной фазе ψ . Аналогично можно записать для э.д.с. и напряжения:

Например, если ток, протекающий по цепи, равен i = 12sin (ωt + 30°)А, то в данном случае Im = 12 А, ψ = 30º , следовательно, комплексная амплитуда тока = 12e j 30º , а комплекс тока (комплексный ток)

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Комплексный метод расчета электрических цепей переменного тока

Существенное упрощение достигается изображением синусо­идальных функций времени комплексными числами.

Существует несколько форм представления комплексного числа:

— алгебраическая форма: ;

— показательная (или экспоненциальная) форма: ;

— тригонометрическая форма: .

Все эти формы связаны между собой, в частности, модуль числа , аргумент .

Для геометрического изображения используется прямоугольная система координат, в которой по горизонтальной оси откладываются вещественные числа, а по вертикальной – мнимые. Такая плоскость называется плоскостью Гаусса. , ,

Для вещественной и мнимой частей комплексного числа употреб­ляют также обозначения: , .

Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют сопря­женными.

Читайте также:  Прибор для измерения электрического тока в сети

Если , то сопряженное ему комплексное число запишется в форме . При этом соблюдается равенство: .

Пусть имеется синусоидально изменяющийся ток .

Его можно представить в форме .

Комплексное число будем рассматривать как символическое изображение дейст­вительного синусоидального тока, которое определяется при заданной частоте ω двумя ве­личинами – амплитудой и начальной фазой.

Комплексное число называют комплексной амплитудой тока.

Рассмотрим теперь выражение для производной по времени от синусоидального тока

Изображение производной будет иметь вид:

Таким образом, операция дифференцирования действительной функции заменяется умножением на ее комплексного изображения.

Рассмотрим изображение интеграла от сину­соидальной функции. В частности, заряд сможет быть найден как

.

(Так как мы рассматриваем только случаи, когда приложенное к зажимам цепи напряжение и э. д. с, действующие в цепи, сину­соидальны и не содержат постоянных составляющих, то напряжения на конденсаторах и заряды на конденсаторах также не содержат постоянных составляющих).

Искомое изображение интеграла будет

Т. о. операция интегрирования действительной функции заменяется делением на ее комплексного изображения.

Таким образом, комплексный метод позволяет заменить интегро-дифференциальное уравнение, содержащее функции времени, алгебраическим уравнением с их комплексными изображениями.

1. Замена заданных функций времени их комплексными изображениями.

2. Замена всех уравнений, составленных по закону Кирхгофа, алгебраическими уравнениями для комплексных изображений.

3. Нахождение комплексных изображений искомых функций.

4. Переход к оригиналам этих функций.

В качестве примера рассмотрим цепь с последовательно соединенными участками R,L и C,к зажимам которой приложено напряжение, изменяющееся по синусоидальному закону .

Требуется найти ток в цепи: .

1) В соответствии с алгоритмом заменяем функции времени их изображениями: , .

2) Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

и записываем его для комплексных изображений, заменив ток,его производную и интеграл их комплексными выражениями:

.

Полученное уравнение уже является алгебраическим. Все слагаемые имеют одинаковый множитель , на который уравнение можно поделить. Окончательно получаем уравнение для комплексных амплитуд:

.

Поэтому рассматриваемый метод расчета часто называют методом комплексных амплитуд. В дальнейшем сразу не будем писать множитель , а составлять уравнение для комплексных амплитуд.

3) Из последнего уравнения легко определяется комплексная ам­плитуда тока:

,

где – полное комплексное сопротивление цепи.

4) Зная выражение для комплексной амплитуды тока в виде , легко записать выражение для мгновенного тока:

Нас обычно интересуют действующие токи и напряжения. Так как действующие синусоидальные токи и напряжения меньше их амплитуд в , то обычно вместо комплексных амплитуд рассмат­ривают комплексные действующие величины: , .

Комплексные сопротивление и проводимость

Отношение комплексного напряжения к комплексному току называют комплексным сопротивлением цепи и обозначают .

,

где – активное, реактивное и полное сопротивления цепи.

В частности, для последовательного соединения R,L и C

.

Аналогично, отношение комплексного тока к комплексному напряжению называют комплексной проводимостью цепи и обозначают . Имеем:

,

где – активная, реактивная и полная проводимости цепи.

Для параллельного соединения трех элементов

.

Очевидно, существует связь: или

Основные законы электрических цепей в комплексной форме

Вид законов электрических цепей переменного тока в комплексной форме такой же, как и для цепи постоянного тока. Только необходимо произвести замену соответствующих постоянных величин комплексными: , , , , , .

Закон Ома в комплексной форме имеют вид: .

Достоинство этих выражений заключается в том, что в них учи­тывается как связь между действующими значениями тока и напряжения,так и сдвиг фаз между ними.

Первый закон Кирхгофа в применении к узлу цепи .

Второй закон Кирхгофа применительно к контуру цепи .

Возможность использовать соотношения для цепей постоянного тока справедлива и для эквивалентных преобразований.

При последовательном соединении участков цепи напряжение на зажимах всей цепи равняется сумме падений напряжений на отдельных участках.Следовательно, при после­довательном соединении комп­лексное сопротивление всей цепи равно алгебраической сумме комплексных сопротивлений от­дельных участков цепи:

Читайте также:  От чего зависит сопротивление тела человека при поражении электрическим током

При параллельном соединении участков цепи общий ток на входе цепи равен сумме токов в отдельных участках. Таким образом, при параллельном соединении комплексная проводимость всей цепи равна алгебраической сумме комплексных проводимостей отдельных участков цепи:

.

При смешанном соединении:

; , . , , .

Расчет сложных цепей переменного тока комплексным методом осуществляется с помощью тех же методов, что и цепей постоянного тока при замене соответствующих величин их комплексными аналогами.

Источник



Расчет цепей переменного тока

Расчет электрических цепей переменного синусоидального тока производится в комплексной форме. При этом величины синусоидальных ЭДС и токов представляются в виде комплексных амплитуд или комплексных действующих значений, а все элементы в схеме – в виде комплексных сопротивлений.

Например, если ЭДС источника равна , то комплексная амплитуда запишется в виде— в показательной форме записи, или— в алгебраической форме. Комплексное действующее значение синусоидальной ЭДС:— в показательной форме записи, или— в алгебраической форме.

Комплексные сопротивления элементов электрической цепи переменного тока:

— для идеального сопротивления,

— для идеальной индуктивности,

— для идеальной емкости.

Далее расчет электрической цепи переменного тока можно вести любым методом, известным из раздела – «электрические цепи постоянного тока». При этом используется математический аппарат, разработанный для операций с комплексными числами.

Применяются три формы записи комплексного значения синусоидальной величины:

— показательная форма,

— алгебраическая форма,

где и— действительная и мнимая часть комплексного значения синусоидальной величины. Переход от алгебраической формы к показательной осуществляется по формулам:

;.

Переход от показательной формы к тригонометрической осуществляется по формуле Эйлера:

.

Сложение и вычитание комплексных величин производится в алгебраической форме, а умножение и деление в показательной.

При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения синусоидальных величин, сокращенно их называют комплексными значениями.

Расчет однофазных цепей

Расчет однофазных цепей переменного тока при наличии одного источника синусоидальной ЭДС производится методом эквивалентных преобразований. Рассмотрим пример расчета однофазной цепи приведенной на рис.

Рис. 2.4. Схема электрической цепи к примеру расчета

Пример расчета однофазной цепи

По заданным значениям активных и реактивных сопротивлений и напряжению источника определить токи во всех ветвях схемы и падения напряжения на ее участках. Определить комплекс полной мощности, активную и реактивную мощность. Расчет произвести комплексным методом. Выполнить проверку правильности расчета с использованием баланса активных мощностей схемы. Построить векторную диаграмму. Построить мгновенные значения синусоидальных токов ветвей. Исходные данные для расчета приведены в таблице.

Источник

Расчет цепей переменного тока

Расчет цепей переменного тока Любой ток изменяющийся по величине является переменным. Но на практике под переменным током понимают такой ток, закон изменения которого во времени есть синусоидальная функция.

Математическое выражение для синусоидального тока можно записать в виде:

где, i — мгновенное значение тока, показывающее величину тока в конкретный момент времени, Im — амплитудное (максимальное) значение тока, выражение в скобках есть фаза, которая определяет значение тока в момент времени t, f — частота переменного тока, это величина, обратная периоду изменения синусоидальной величины Т, ω — угловая частота, ω = 2πf = 2π / T , α — начальная фаза, показывает значение фазы в момент времени t = 0.

Аналогичное выражение можно записать и для синусоидального переменного напряжения:

Мгновенные значения тока и напряжения условились обозначать строчными латинскими буквами i, u, а максимальные (амплитудные) значения – прописными печатными латинскими буквами I, U с индексом m.

Читайте также:  Симпсоны бьют друг друга током

Для измерения величины переменного тока чаще всего используют действующее (эффективное) значение , которое численно равно такому постоянному току, который за период переменного выделяет в нагрузке такое же количество тепла, что и переменный ток.

Действующее значение переменного тока :

Для обозначения действующих значений тока и напряжения используют прописные печатные латинские буквы I, U без индекса.

В цепях синусоидального тока между амплитудным и действующим значениями существует взаимосвязь:

В цепях переменного тока изменение во времени питающего напряжения влечёт за собой изменение тока, а также магнитного и электрического полей, связанных с цепью. Результатом этих изменений является возникновение ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции в цепях с катушками индуктивности, а в цепях с конденсаторами появляются зарядные и разрядные токи, которые создают сдвиг по фазе между напряжениями и токами в таких цепях.

Отмеченные физические процессы учитывают введением реактивных сопротивлений , в которых, в отличие от активных, не происходит превращение электрической энергии в другие виды энергии. Наличие тока в реактивном элементе объясняется периодическим обменом энергией между таким элементом и сетью. Все это усложняет расчёт цепей переменного тока, так как приходится определять не только величину тока, но и его угол сдвига по отношению к напряжению.

Все основные законы цепей постоянного тока справедливы и для цепей переменного тока, но только для мгновенных значений или значений в векторной (комплексной) форме. На основе этих законов можно составить уравнения, позволяющие осуществить расчёт цепи.

Как правило, целью расчёта цепи переменного тока является определение токов, напряжений, углов сдвига фаз и мощностей на отдельных участках . При составлении уравнений для расчёта таких цепей выбирают условные положительные направления ЭДС, напряжений и токов. Получаемые уравнения для мгновенных значений в установившемся режиме и синусоидальном входном напряжении будут содержать синусоидальные функции времени.

Аналитический расчёт тригонометрических уравнений неудобен, требует значительных затрат времени и поэтому не находит широкого распространения в электротехнике. Упростить анализ цепи переменного тока можно, используя тот факт, что синусоидальную функцию можно условно изобразить вектором, а вектор, в свою очередь, можно записать в виде комплексного числа .

Комплексным числом называют выражение вида:

где a – вещественная (действительная) часть комплексного числа, j – мнимая единица, b – мнимая часть, A – модуль, α – аргумент, e – основание натурального логарифма.

Первое выражение представляет собой алгебраическую форму записи комплексного числа, второе – показательную, а третье – тригонометрическую. Для отличия, в комплексной форме записи подчеркивают букву, обозначающую электрический параметр.

Метод расчёта цепи, основанный на применении комплексных чисел, называется символическим методом . В символическом методе расчета все реальные параметры электрической цепи заменяют символами в комплексной форме записи. После замены реальных параметров цепи на их комплексные символы расчет цепей переменного тока выполняют методами, которые применяли для расчета цепей постоянного тока. Отличие состоит в том, что все математические операции необходимо выполнять с комплексными числами.

В результате расчета электрической цепи искомые токи и напряжения получаются в виде комплексных чисел. Реальные действующие значения тока или напряжения равны модулю соответствующего комплекса, а аргумент комплексного числа показывает угол поворота вектора на комплексной плоскости по отношению к положительному направлению вещественной оси. При положительном аргументе вектор поворачивается против часовой стрелки, а в случае отрицательного аргумента – по часовой.

Завершают расчёт цепи переменного тока, как правило, составлением баланса активных и реактивных мощностей, который позволяет проверить правильность вычислений.

Источник