Меню

Рассчитать комплексные амплитуды токов

Метод комплексных амплитуд

Введение

Целью данного курсового проекта является приобретение навыков определения токов, напряжений, мощностей на различных участках электрической цепи, освоить символический метод расчета электрических цепей при гармоническом внешнем воздействии, получить навыки перехода от одной формы записи комплексного числа к другой, понять физическую сущность каждой из этих форм применительно к параметрам и характеристикам электрической цепи. Уяснить порядок расчета электрической цепи в переходном режиме классическим и операторным методами. Научиться определят начальные условия и принужденные составляющие токов и напряжений, при расчете операторным методом освоить применение формул разложения.

Теоретические основы расчета цепей синусоидального тока.

Синусоидальный ток

Синусоидальным током называют ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону.

Ток i(t) называют мгновенным. Максимальное значение тока называют амплитудой и обозначают . Период – это время, за которое совершается одно полное колебание. Частота равна числу колебаний в секунду , единица частоты — герц (Гц).

Угловая частота , единица угловой частоты рад/с или . Аргумент синуса, т.е. , называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания в данный момент времени .

Начальная фаза тока — .

Любая синусоидальная функция характеризуется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи.

Метод комплексных амплитуд

Метод комплексных амплитуд — метод расчета линейных электрических цепей, содержащих реактивные элементы, в установившемся режиме при гармонических входных сигналах.

Возможны три формы записи комплексного числа.

(тригонометрическая форма)

Суть метода заключается в следующем:

Для всех реактивных элементов определяется их комплексный импеданс (комплексное сопротивление двухполюсника для гармонического сигнала.).

Все токи и напряжения рассматриваются в виде комплексных амплитуд.

После введения этих замен задача анализа цепи сводится к задаче анализа цепи на постоянном токе:

импедансы трактуются как обычные сопротивления

комплексные амплитуды токов и напряжений как обычные токи и напряжения

Таким образом, мы избавились от реактивности элементов и зависимости от времени сигналов. Эти факторы, затрудняющие математическое описание схемы, теперь перенесены в сигнал: все параметры зависят от частоты гармонического сигнала и являются комплекснозначными.

Задача анализа цепи на постоянном токе решается соответствующими методами, например, методом узловых потенциалов или методом контурных токов. После нахождения всех искомых комплексных амплитуд их можно при необходимости перевести обратно в гармонические сигналы.

Переходные процессы

Первый закон коммутации

Ток в индуктивности не может меняться скачком, поэтому мгновенное значение тока в ветви с индуктивностью в первый момент переходного процесса остается таким же, каким было в последний момент предшествующего установившегося режима.

Второй закон коммутации

Напряжение на емкости не может изменяться скачком, поэтому мгновенное значение напряжения на емкости в первый момент переходного процесса остается таким же, каким было в последний момент предшествующего установившегося режима.

2.2.Методы расчёта переходных процессов:

Классический метод — использует решение дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики.

Операторный метод — перенос расчёта переходного процесса из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного, в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические.

Классический метод расчёта переходных процессов

Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Данный метод обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей (расчет сложных цепей упрощается операторным методом).

Расчет выполняется следующим образом.

Найти независимые начальные условия, то есть, напряжения на ёмкостях и токи на индуктивностях в момент начала переходного процесса.

Далее необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Наконец, в общем решении следует найти постоянные интегрирования из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима называют установившимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Операторный метод расчёта переходных процессов

Операторный метод — это метод расчёта переходных процессов в электрических цепях, основанный на переносе расчёта переходного процесса из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного (либо операторной переменной), в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические.

Прямое преобразование Лапласа:

Обратное преобразование Лапласа:

Преобразование функций действительного переменного в операторную функцию производится с помощью методов операционного исчисления. Например, если в цепи имеется источник постоянной ЭДС , то в операторной схеме замещения вместо неё будет операторная ЭДС .

Последовательность расчёта операторным методом:

Читайте также:  Особенности устройство электровозов постоянного тока

1. Определяются независимые начальные условия;

2. Вычерчивается операторная схема замещения, при этом электрические сопротивления заменяются эквивалентными операторными сопротивлениями, источники тока и источники ЭДС заменяются соответствующими операторными ЭДС, при этом следует учесть, что на месте реактивных сопротивлений помимо операторных сопротивлений появляются дополнительные операторные ЭДС;

3. Находятся операторные функции токов и напряжений в цепи одним из методов расчёта электрической цепи с помощью решения обыкновенных алгебраических уравнений и их систем;

4. Производится преобразование найденных операторных функций токов и напряжений в функцию действительного переменного с помощью методов операционного исчисления.

Операторный метод позволяет производить расчёт сложных схем менее трудоёмко, чем классический метод.

1. Расчет электрической цепи при гармоническом воздействии.

1.Определим угловую частоту:

2.Находим реактивные сопротивления:

3.Методом свертывания определим общее комплексное сопротивление цепи:

4.Найдем токи и напряжения:

Мгновенные значения токов и напряжений:

Q S


=0,03121-j0,00494

Расчет переходных процессов.

В установившемся режиме

, подставим

=-0.00603

Источник

Рассчитать комплексные амплитуды токов

Синусоидальный электрический ток – это электрический ток, который изменяется по синусоидальному закону.

Графически синусоидальный закон изображен на рисунке ниже.

Рисунок 1. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Максимальное значение представленной выше функции называется амплитудой, которая обозначается заглавной буквой и строчной буквой m, например — Im — амплитуда электрического тока, Um — амплитуда напряжения. Время, за которое совершается одно колебание, называется периодом и обозначается буквой Т. Частота рассчитывается по следующей формуле:

Готовые работы на аналогичную тему

А формула для расчета следующей угловой скорости выглядит следующим образом:

$w = 2 π f = 2 π / Т$

Аргумент синуса (wt + д) называется фазой и определяется следующими величинами:

  1. Начальной фазой — д.
  2. Амплитудой.
  3. Угловой частотой — w.

Электродвижущую силу и синусоидальный ток низких частот (до нескольких килогерц) получают при помощи синхронных генераторов. Синусоидальные токи и электродвижущая сила с высокими частотами получают при помощи полупроводников и ламповых генераторов. Источник синусоидального тока обозначается e(t), а источник синусоидальной электродвижущей силы j(t)

При обозначении величин в расчетах и на схемах очень важен регистр букв, так как принято, что заглавными обозначаются действующие значения величин (E, U, I), а строчными мгновенные (e, u, i).

Расчет цепей синусоидального тока методом комплексных амплитуд

Метод комплексных амплитуд – это метод расчета электрических цепей, в состав которых входят реактивные элементы, в установившемся режиме при гармонических входных сигналах.

Основой для создания метода комплексных амплитуд послужили свойства гармонических колебаний: при вычитании или сложении, интегрировании, а также дифференцировании гармонических колебаний, обладающих одинаковыми частотами, их форма остается неизменной, а начальная фаза и амплитуда видоизменяются. Данные свойства позволяют свести описание электрической цепи в виде интегрально-дифференциальных уравнений к таким уравнениям, которые решаются при помощи алгебры комплексных чисел. В случае гармонического колебания, задача анализа установившегося режима сводится к определению комплексной амплитуды, которая содержит информацию о начальной фазе отклика и амплитуде. Метод комплексных амплитуд получил широкое распространение благодаря:

  • возможности применения результатов анализа воздействия произвольных периодических и непериодических сигналов.
  • необходимости проведения анализа гармонического воздействия, так как гармонические колебания применяются для питания электротехнических устройств и приборов, а также для передачи данных, в качестве тестовых сигналов при проведении испытаний и наладки электронных приборов.
  • простоте осуществления анализа.

Метод комплексных амплитуд основан на представлении синусоидальной функции через экспоненты с мнимым аргументом. Аналитически комплексное число в тригонометрической, показательной и алгебраической форме выглядит следующим образом:

Рисунок 2. Формулы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, а1 — вещественная составляющая; а2 — мнимая составляющая; А — модуль комплексного числа; ф — аргумент комплексного числа.

Геометрически комплексное число можно представить вектором комплексной плоскости прямоугольными или полярными координатами. Пример геометрического представления комплексного числа изображен на рисунке ниже.

Рисунок 3. Геометрическое представление комплексного числа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

А — прямоугольные координаты; Б — полярные координаты

Аргумент и модуль комплексного числа находятся из прямоугольного треугольника

Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Затем по формуле Эйлера раскладывается амплитуда напряжения:

Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Мнимая часть выше представленного выражения является синусоидально-изменяющимся напряжением, то есть:

Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На плоскости комплексная амплитуда напряжения (Um) изображается вектором, у которого амплитуда равна начальной фазе, длина пропорциональна вещественной амплитуде.

Рисунок 7. Комплексная амплитуда напряжения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Комплексное сопротивление (Z) рассчитывается по следующей формуле:

Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, R — активное сопротивление; х — модуль реактивного сопротивления, который рассчитывается по формуле: х=хL+xC; хL — модуль индуктивного сопротивления; х — модуль емкостного сопротивления; z — модуль комплексного сопротивления.

Закон Ома для цепей синусоидального тока записывается следующим образом:

где, I — комплекс действующего значения электрического тока; Е — комплекс действующего значения электродвижущей силы; Z — комплексное сопротивление.

Первый закон Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма комплексных амплитуд тока равна нулю, выражается следующей формулой:

Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

По второму закону Кирхгофа по алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжений на элементах контура равняется алгебраической сумме комплексных амплитуд электродвижущей силы источников рассматриваемого контура, то есть

Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Источник

Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

ads

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Читайте также:  Схема защиты от сквозных токов

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Комплексное число на комплексной плоскости

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

действующее значение

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

Действующее значение напряжения

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

Показательная форма комплексного числа

2) тригонометрическая форма в виде

Тригонометрическая форма комплексного числа

3) алгебраическая форма

Алгебраическая форма комплексного числа

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

      • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Схема с последовательным соединением элементов

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Схема с комплексными обозначениями

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

Закон ома в комплексной форме

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

      Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Источник



Расчет цепей методом комплексных амплитуд

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 4.27.

Читайте также:  Носителями тока в собственных полупроводниках являются

б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х(t) = Xm cos(wt – jx) ® Xm = Xm e – j j x .

2) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Ym = Ym e – j j y .

3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.

Ym =Ym e – j j y ® y(t) = Ym cos(wt – jy).

Пример 1. Алгоритм метода рассмотрим на примере анализа цепи, схема которой приведена на рис. 4.29.

Рис. 4.29. RLC-цепь второго порядка

На вход цепи подается синусоидальное воздействие . Параметры воздействия и элементов цепи известны: Um=1 В, ω =1 с -1 , φ u=90 0 , R=1 Ом, L=1 Гн, C=1 Ф. Требуется определить токи и напряжения ветвей, построить векторную диаграмму.

1. Представим воздействие в комплексной форме:

2. Построим схему замещения цепи в частотной области, заменив элементы цепи комплексными двухполюсниками, как это показано на рис. 4.30.

Рис. 4.30. Схема замещения цепи в частотной области

3. Произведем расчет реакций (токов и напряжений) в комплексной области. При этом можно воспользоваться законами Кирхгофа и Ома в комплексной форме, а также известными методами расчета резистивных цепей:

3. Построим векторную диаграмму для токов и напряжений в цепи. Для этого на комплексной плоскости откладываются в соответствующем масштабе найденные токи и напряжения, как показано на рис. 4.31.

Рис. 4.31. Векторная диаграмма

Построение векторной диаграммы, как правило, является конечным результатом решения подобных задач. Векторная диаграмма показывает амплитуду и начальную фазу любого тока или напряжения. При необходимости записать временную функцию тока или напряжения, это всегда можно сделать, имея векторную диаграмму. Например, напряжение на L-элементе имеет амплитуду , а начальную фазу 135 0 , значит, во временной области это напряжение можно записать так:

Пример 2. Задана эквивалентная схема цепи синусоидального тока (рис. 10) и ее параметры.

Рис. 10.

Выполнить следующие действия:

1. Рассчитать токи в ветвях и напряжения на элементах схемы;

2. Составить и проверить баланс полных, активных и реактивных мощностей;

3. Построить векторную диаграмму токов для узла а.

Расчет проводим символическим методом в следующем порядке:

1. Рассчитываем сопротивление всех элементов схемы (учитываем, что )

2. Представляем ЭДС источника в виде комплекса действующего значения. Определяем комплексные сопротивления и проводимости ветвей

3. Рассчитываем токи в ветвях методом двух узлов. Задаем произвольно положительное направление токов в ветвях и положительное направление узлового напряжения. Используя основную формулу метода, рассчитываем узловое напряжение

Определяем токи в ветвях, используя обобщенный закон Ома

Проверяем корректность промежуточных расчетов, составив уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а

Комплексная абсолютная погрешность расчета составляет

Определяем ее модуль

Рассчитываем относительную погрешность определения токов

Поскольку , расчет токов корректен. Первый пункт задания выполнен.

4. Составляем и проверяем баланс мощностей

Рассчитываем полную комплексную мощность, развиваемую источником, а также его активную и реактивную мощность. При этом используем закон Джоуля – Ленца в комплексной форме записи

Определяем суммарную активную и реактивную мощность на приемниках. При этом также используем закон Джоуля – Ленца

Рассчитываем суммарную полную комплексную мощность на приемниках

Проверяем корректность расчета, рассчитав модуль относительной погрешности определения полных мощностей

Расчет проведен корректно. Второй пункт задания выполнен.

5. Строим векторную диаграмму токов на комплексной плоскости, используя их действительные ( ) и мнимые ( ) составляющие. Задаемся масштабом по току , делим указанные составляющие токов на масштаб и откладываем получающиеся отрезки в сантиметрах вдоль осей комплексной плоскости (с учетом знаков составляющих).

Результаты построения (рис. 11) наглядно иллюстрируют корректность проведенных расчетов. Итак, третий пункт и все задание выполнены.

При выполнении задания №2 можно также воспользоваться рекомендуемой литературой [2, 3, 4].

Пример 6.Для цепи, изображенной на рис. 1 требуется:

1. Определить комплексным методом действующие значения напряжений и токов на всех участках цепи.

2. Определить активные, реактивные и полные мощности каждого участка цепи и всей цепи.

3. Составить баланс активных и реактивных мощностей и оценить погрешность расчета.

4. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Исходные данные:
U = 127 В , r1 = 15 Ом , C1 = 60 мкФ, r2 = 10 Ом , L2 = 80 мГн, r3 = 15 Ом , C3 = 90 мкФ. Частота питающего напряжения 50 Гц.

Источник

Комплексные амплитуды, комплексные действующие значения, комплексы действующих значений

Комплексные амплитуды напряжения

U ˙ m = U m e j α u

I ˙ m = I m e j α i

при анализе установившегося синусоидального режима соответствуют сигналам синусоидальной формы напряжения

u(t) = Umcos(ωt + αu)

i(t) = Imcos(ωt + αi).

Комплексные амплитуды представляют векторами на комплексной плоскости, как комплексное число (рис. 21)

A ˙ = A e j γ = A cos γ + j A sin γ = a + j b ,

где модуль (длина вектора)

A = | A ˙ | = a 2 + b 2 ,

γ = a r c t g b a ,

действительная часть комплексного числа

Re A ˙ = A cos γ = a ,

мнимая часть комплексного числа

Im A ˙ = A sin γ = b ,

j 2 = − 1, j ⋅ ( − j ) = − j 2 = − ( − 1 ) = 1, 1 j = j j 2 = j − 1 = − j .

Сопряженное комплексное число

A * = A e − j γ = A cos ( − γ ) + j A sin ( − γ ) = A cos γ − j A sin γ = a − j b ,

где положительный отсчет угла γ производят против часовой стрелки от «правого горизонта».

Комплексные амплитуды используют при обосновании метода комплексных амплитуд для расчета установившегося синусоидального режима

u ( t ) = Re U ˙ m e j ω t = Re U m e j α u e j ω t = Re U m e j ( ω t + α u ) = U m cos ( ω t + α u ) ; i ( t ) = Re I ˙ m e j ω t = Re I m e j α i e j ω t = Re I m e j ( ω t + α i ) = I m cos ( ω t + α i ) ,

где e j ω t – оператор вращения, U ˙ m e j ω t , I ˙ m e j ω t – вращающиеся векторы, поскольку их суммарная фаза γ = ωt + α равномерно увеличивается с увеличением времени t.

Комплексные действующие значения или комплексы действующих значений:

комплексное действующее напряжение или комплекс действующего напряжения

U ˙ = U e j α u = U ˙ m 2 = U m 2 e j α u ,

комплексный действующий ток или комплекс действующего тока

I ˙ = I e j α i = I ˙ m 2 = I m 2 e j α i .

Источник