Меню

Совпадающими с направлением тока в ветви

Электрические цепи постоянного тока. Электрические цепи и ее элементы

Электрические цепи и ее элементы

Электрической цепью постоянного тока называют совокупность устройств и объектов: источников электрической энергии, преобразователей, потребителей, коммутационной, защитной и измерительной аппаратуры, соединительных проводов или линии электропередачи.

Электрические и электромагнитные процессы в этих объектах описываются с помощью понятий об электродвижущей силе (ЭДС — E), токе (I) и напряжении (U).

Элементы цепи можно разделить на три группы:

1) элементы, предназначенные для генерирования электроэнергии (источники энергии, источники ЭДС);

2) элементы, преобразующие электроэнергию в другие виды энергии: механическую, тепловую, световую, химическую и т.д. (эти элементы называются приемниками электрической энергии или потребителями);

3) элементы, предназначенные для передачи электрической энергии от источника к приемникам (линии электропередачи, соединительные провода); элементы, обеспечивающие уровень и качество напряжения и т.д.

Источники питания цепи постоянного тока – это гальванические элементы, электрические аккумуляторы, электромеханические генераторы, термо- и фотоэлементы и др.

Электрическими приемниками или потребителями постоянного тока являются электродвигатели, преобразующие электрическую энергию в механическую, нагревательные и осветительные приборы, электролизные установки и др. Все электоприемники характеризуются электрическими параметрами, среди которых основные – напряжение и мощность. Для нормальной работы электроприемника на его зажимах необходимо поддерживать номинальное напряжение. По ГОСТ 721-77 напряжение равно 27, 110, 220, 440 В, так же 6, 12, 24, 36 В.

Коммутационная аппаратура служит для подключения потребителей к источникам, то есть для замыкания и размыкания источников электроцепи.

Защитная аппаратура предназначена для размыкания цепи в аварийных ситуациях.

Измерительная аппаратура предназначена для замера тока, напряжения и других электрических величин.

Линии электропередачи используются, когда источники и потребители удалены друг от друга на большие расстояния. Соединительные провода предназначены для соединения между собой зажимов или электродов элементов электрической цепи.

Активные и пассивные элементы

Элемент называется пассивным, если он не может вызывать протекание тока, то есть если он не создает тока или ЭДС. Если собрать несколько пассивных элементов (резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности) в электрическую цепь, то ток в цепи не потечет.

Элемент, который создает ЭДС и вызывает протекание тока, называется активным (источники электроэнергии).

Линейные и нелинейные цепи

Электрическая цепь называется линейной, если электрическое сопротивление или другие параметры участков, не зависят от значений и направлений токов и напряжений. Электрические процессы линейной цепи описываются линейными алгебраическими и дифференциальными уравнениями.

Если электрическая цепь содержит хотя бы один нелинейный элемент, то она является нелинейной.

Топологические элементы электрической цепи.

Графическое изображение электрической цепи называется электрической схемой. Электрическая схема включает: узлы, ветви, контуры.

Ветвь – совокупность элементов, соединенных последовательно. По ветви протекает один и тот же ток.

Узел – точка соединения трех или более ветвей.

Контур – совокупность ветвей, при обходе которых осуществляется замкнутый путь.

Простейшая электроцепь имеет один контур с одной ветвью и не имеет узлов. Сложные электроцепи имеют несколько контуров.

Положительные направления тока, напряжения и ЭДС.

Чтобы правильно записать уравнения, описывающие процессы в электрических цепях, и произвести анализ этих процессов, необходимо задать условные положительные направления ЭДС источников питания, тока в элементах или ветвях цепи и напряжения на зажимах элементов цепи или между узлами цепи.

Внутри источника ЭДС постоянного тока положительным является направление ЭДС от отрицательного полюса к положительному полюсу. Это соответствует определению ЭДС как величины, характеризующей способность сторонних сил вызывать электрический ток.

По отношению к источнику ЭДС все элементы цепи составляют внешний участок цепи.

За положительное направление тока в цепи принимают направление, совпадающее с направлением ЭДС. Во внешней цепи положительным является направление от положительного полюса источника к отрицательному полюсу. В электронной теории – направление совпадает с направлением положительно заряженных частиц.

Условным положительным направлением падения напряжения (или просто напряжения) на элементах цепи или между двумя узлами цепи принимают направление, совпадающее с условно положительным направлением тока в этом элементе или в этой ветви. Положительное направление напряжения на зажимах источника ЭДС всегда противоположно положительному направлению ЭДС.

Действительные направления электрических величин, определяемые расчетом, могут совпадать или не совпадать с условными направлениями. При расчетах если определено, что ток, ЭДС и напряжения положительны, то их действительные направления совпадают с условно принятыми положительными направлениями, если отрицательны, то не совпадают.

Основные законы электрической цепи

Условное обозначение параметров в цепях постоянного и переменного тока.

i – переменный ток; I – постоянный ток;

u – переменное напряжение; U – постоянное напряжение;

e – переменная ЭДС; E – постоянная ЭДС;

Напряжение U на зажимах потребителя прямо пропорционально сопротивлению R и току I , проходящему через него

Но выражение не является следствием закона Ома, так как сопротивление R=const и не зависит от тока и напряжения, протекающего через сопротивление.

Если ввести понятие проводимость G,то , .

Размерность сопротивления R – Ом (Ом), проводимости G – сименс (См).

Первый закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равно нулю.

где n – число ветвей, сходящихся в узле.

До написания уравнения необходимо задать условные положительные направления токов в ветвях, обозначив эти направления на схеме стрелками. Токи, направленные к узлу, записываются со знаком плюс, а токи, направленные от узла, со знаком минус.

Например: I1=5 A

Иначе первый закон Кирхгофа может быть сформулирован: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла:

Второй закон Кирхгофа

Отражает физическое положение, состоящее в том, что изменение потенциала во всех элементах контура в сумме равно нулю.

Алгебраическая сумма ЭДС в любом контуре электрической цепи постоянного тока равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях, входящих в этот контур.

где n – число ЭДС в контуре; m – число сопротивлений в контуре.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа предварительно задают условные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи и для каждого контура выбирают направление обхода. Если при этом направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то такую ЭДС берут со знаком плюс, если не совпадает – со знаком минус. Падение напряжения со знаком плюс, если положительное направление тока в данном элементе цепи совпадает с положительным направление обхода контура, а со знаком минус, если такого совпадения нет.

Иная формулировка второго закона Кирхгофа – сумма падений напряжений на всех элементах контура, включая источник ЭДС, равна нулю:

Если в ветви имеется n последовательно соединенных элементов с сопротивлением Rk, то

То есть падение напряжения на участке цепи или напряжение между зажимами ветви, состоящей из последовательно соединенных элементов, равно сумме падений напряжений на этих элемента.

Режимы работы электрической цепи

Элементами цепи являются конкретные электрические устройства, которые могут работать в различных режимах. Режимы работы как отдельных элементов, так и всей цепи характеризуются значениями тока и напряжения, следовательно, таких режимов может быть множество.

Идеальные и реальные источники ЭДС и тока

Идеальным называется источник ЭДС, напряжение, на зажимах которого не зависит от тока протекающего через него. Внутреннее сопротивление такого источника (R=0) равно нулю. Во всех практических случаях реальные источники ЭДС (или источники питания) не являются идеальными, так как обладают внутренним сопротивлением ( ).

Пусть источник характеризуется постоянными ЭДС ( E=const) и внутренним сопротивлением (R=const). По второму закону Кирхгофа можно записать:

где RI=U – напряжение на зажимах внешней цепи; RI – падение напряжения внутри источника ЭДС. Одновременно напряжение U является напряжением на зажимах источника, следовательно:

Это уравнение, описывающее напряжение во внешней цепи от тока в ней (U=f(I)), является уравнением внешней характеристики источника ЭДС. Это уравнение является линейным.

Различают следующие режимы: режим холостого хода, режим короткого замыкания и номинальный режим.

Читайте также:  Коэффициент мощности цепи при синусоидальном токе

Режим холостого хода – это режим, при котором ток в цепи равен нулю I=0, что имеет место при разрыве цепи. В режиме холостого хода U=E. Вольтметр при этом измеряет ЭДС источника.

Режим короткого замыкания – это режим, когда сопротивление приемника равно нулю:

Номинальный режим — расчетный режим, при котором потребитель работает в условиях указанных в паспорте. Номинальные значения тока напряжения и мощности соответствуют выгодным условиям работы устройства с точки зрения экономичности, надежности, долговечности и т.д.

Ток короткого замыкания может достигать больших величин, во много раз превышая номинальный ток. Поэтому режим короткого замыкания для большинства электроустановок является аварийным режимом.

Согласованный режим источника ЭДС и внешней цепи имеет место, когда сопротивление внешней цепи равно внутреннему сопротивлению источника (R=R0). В этом случае

Идеальный источник тока – тот источник, у которого создаваемый ток не зависит от напряжения на его зажимах, то есть его внутреннее сопротивление или его внутренняя проводимость . У реального источника проводимость не равна нулю . Расчет такой цепи ведется с учетом внутренней проводимости источника тока: I=I-GU, I=f(U).

Источник

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа.

Законы Кирхгофа для разветвленной цепи (разветвленная цепь – электрическая цепь, содержащая узлы – места, где сходятся не менее трех проводников):

а) По первому закону Кирхгофаалгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю . Токи, приходящие к узлу, считаются положительными, а токи, отходящие от узла, отрицательными.

б)Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре алгебраическая сумма произведений токов в участках на сопротивление этих участков равна алгебраической сумме электродвижущих сил, включенных в данный контур

,

где – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; – алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления замкнутых участков; – алгебраическая сумма ЭДС источников тока на замкнутом участке цепи.

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи.

2. Выбрать направление обхода контура; произведение положительно, если ток на участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот; ЭДС, действующие по выбранному направлению обхода (перемещение происходит внутри источника тока от катода к аноду), считаются положительными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу неизвестных электрических величин; каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержавшийся в предыдущих контурах.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Например, для рис. 148 первое правило Кирхгофа запишется так:

Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.

Второе правило Кирхгофа получается из обобщенного закона Ома для разветвлен­ных цепей. Рассмотрим контур, состоящий из трех участков (рис. 149). Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с напра­влением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (100.3), можно записать:

Складывая почленно эти уравнения, получим

(101.1)

Уравнение (101.1) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов Ii на сопротивления Ri соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. , встречающихся в этом контуре:

(101.2)

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:

1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведе­ние IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода, считаются поло­жительными, против — отрицательными.

3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.

В качестве примера использования правил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150) измеритель­ногомоста Уитстона.* Сопротивления R1, R2, R3и R4 образуют его «плечи». Между точками А и В моста включена батарея с э.д.с. и сопротивлением r, между точками С и D включен гальванометр с сопротивлением RG.Для узлов А, В и С, применяя первое правило Кирхгофа, получим

(10 1.3)

Для контуров АСВA, ACDA и CBDC, согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

(101.4)

* Ч. Уитстон (1802—1875) — английский физик.

Если известны все сопротивления и э.д.с., то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления R2, R3 иR4, можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю (IG = 0). Тогда из (101.3) найдем

(101.5)

а из (101.4) получим

(101.6)

Из (101.5) и (101.6) вытекает, что

(101.7)

Таким образом, в случае равновесного моста (IG = 0) при определении искомого сопротивления R1 э.д.с. батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют.

На практике обычно используетсяреохордный мост Уитстона (рис. 151), где сопротивле­ния R3и R4 представляют собой длинную однородную проволоку (реохорд) с большим удельным сопротивлением, так что отношение R3/R4 можно заменить отношением l3/l4. Тогда, используя выражение (101.7), можно записать

(101. 8)

Длины l3 и l4 легко измеряются по шкале, a R2 всегда известно. Поэтому уравнение (101.8) позволяет определить неизвестное сопротивление R1.

Параллельное соединение приемников. Вначале рассмотрим графоаналитический метод расчета цепи с параллельным соединением потребителей (рис. 2.16, а). Для такой цепи характерно то, что напряжения на каждой ветви одинаковы, общий ток равен сумме токов ветвей.

Ток в каждой ветви определяется по закону Ома:

I1 = U ; I2 = U ; I3 = U (xL3 > xC3).
r1 2 + xL1 2 r2 2 + xC2 2 r3 2 + (xL3xC3) 2

Угол сдвига φ между током каждой ветви и напряжением определяют с помощью cos φ:

cos φ1 = r1 ; cos φ2 = r2 ; cos φ3 = r3 .
r1 2 + xL1 2 r2 2 + xC2 2 r3 2 + (xL3xC3) 2
Рис. 2.16. Цепь с параллельным соединением потребителей (а) и ее векторная диаграмма (б)

Общий ток в цепи, как следует из первого закона Кирхгофа, равен геометрической сумме токов всех ветвей:

Значение общего тока определяют графически по векторной диаграмме рис. 2.16, б.

Активная мощность цепи равна арифметической сумме активных мощностей всех ветвей:

Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей всех ветвей:

n
Q = Qk .

причем реактивную мощность ветви с индуктивностью берут со знаком плюс, ветви с емкостью — со знаком минус. Для цепи рис. 2.16 реактивная мощность равна

Полная мощность цепи

S = √P 2 + Q 2 .

Угол сдвига φ между общим током и напряжением определяют из векторной диаграммы или из выражения:

Графоаналитический метод не удобен для расчета разветвленных цепей: он отличается громоздкостью и невысокой степенью точности.

Для анализа и расчета разветвленных цепей переменного тока используют проводимости, с помощью которых разветвленную цепь можно преобразовать в простейшую цепь и аналитически рассчитать токи и напряжения всех ее участков.

В цепях постоянного тока проводимостью называется величина, обратная сопротивлению участка цепи:

g = 1/r

и ток в цепи выражается как произведение напряжения на проводимость:

Рис. 2.17. Электрическая цепь (а), ее векторная диаграмма (б) и эквивалентная схема (в); векторная диаграмма цепи при резонансе

В цепях переменного тока существуют три проводимости — полная,

активная и реактивная, причем только полная проводимость является величиной, обратной полному сопротивлению последовательного участка цепи.

Читайте также:  Как повысить или понизить частоту тока

Выражения проводимостей в цепях переменного тока можно получить следующим образом.

Ток в каждом неразветвленном участке цепи раскладывают на две составляющие, одна из которых есть проекция на вектор напряжения (активная составляющая тока Ia ), а другая — на линию, перпендикулярную вектору напряжения (реактивная составляющая тока Iр ).

Активная составляющая тока определяет активную мощность

P = UI cos φ = UIa ;

реактивная составляющая тока — реактивную мощность

Q = UI sin φ = UIр.

Из векторной диаграммы цепи рис. 2.17, а, изображенной на рис. 2.17, б, следует, что активная составляющая тока I1 равна

I1a = I1 cos φ1 = U r = Ur1/z1 2 = Ug1.
z1 z1

называется активной проводимостью ветви. Реактивная составляющая тока I1 равна

Ilp = I1 sin φ1 = U xL = UxL/z1 2 = Ub1.
z1 z1

называется реактивной проводимостью ветви цепи с индуктивностью и в общем случае обозначается bL.

Аналогично определяют активную g2 и реактивную b2 проводимости второй ветви цепи:

Реактивная проводимость ветви с емкостью в общем случае обозначается bC.

Вектор тока первой ветви равен геометрической сумме векторов активной и реактивной составляющих тока

а значение тока

Выразив составляющие тока через напряжение и проводимости, получим

где у1 = 1/z1 =g1 2 + bL1 2 — полная проводимость ветви.

Аналогично определяют и полную проводимость второй ветви:

Эквивалентные активную, реактивную и полную проводимости цепи получают следующим образом.

Вектор общего тока цепи равен геометрической сумме векторов токов Ī1 и Ī2:

и может быть выражен через активную и реактивную составляющие тока и эквивалентные проводимости всей цепи:

Активная составляющая общего тока (см. рис. 2.17, б) равна арифметической сумме активных составляющих токов ветвей:

а реактивная составляющая — арифметической разности реактивных составляющих этих токов:

Рис. 2.18. К расчету разветвлен- ной цепи с использова- нием проводимостей

Из выражений (2.24) и (2.25) следует, что эквивалентная активная проводимость цепи равна арифметической сумме активных проводимостей параллельно включенных ветвей:

а эквивалентная реактивная проводимость — алгебраической сумме реактивных проводимостей параллельно включенных ветвей:

При этом проводимости ветвей с индуктивным характером нагрузки берут со знаком плюс, ветвей с емкостным характером нагрузки — со знаком минус. Полная эквивалентам проводимость цепи

По эквивалентным активной, реактивной и полной проводимостям можно определить параметры эквивалентной схемы (рис. 2.17, в) цепи.

Эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления цепи определяют с помощью выражений

Необходимо отметить, что если ΣbL > ΣbC, то эквивалентное сопротивление хэ будет индуктивным, если ΣbC > ΣbLемкостным.

Смешанное соединение потребителей.Расчет цепи при смешанном соединении потребителей (рис. 2.18, а) может быть произведен путем замены ее простейшей эквивалентной цепью. Для этого вначале определяют активные, реактивные и полные проводимости параллельно включенных ветвей: g1, g2, b1, b2, у1, у2.

Затем находят эквивалентные активную, реактивную и полную проводимости параллельного участка цепи:

Далее определяют эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления параллельного участка цепи:

В результате расчетов цепь может быть заменена эквивалентной цепью (рис. 2.18, б), где все сопротивления включены последовательно. Общие активное, реактивное и полное сопротивления цепи равны

Цепь приобретает простейший вид, изображенный на рис. 2.18, в. Общий ток цепи определяют по закону Ома:

Источник



Электрические цепи постоянного тока

Электрическим током называют упорядоченное движение электрических зарядов. Направлением электрического тока условились считать направление движения положительных зарядов.

Можно указать на ряд факторов, способных вызывать упорядоченное движение зарядов. Так, под действием электрических (кулоновских) сил положительные заряды движутся в направлении силовых линий поля, отрицательные заряды — в противоположном направлении. Движение зарядов может происходить и под действием неэлектрических сил (например, магнитных), а также при диффузии или в химических реакциях.

Постоянный ток используется в процессе электролиза (гальванопластика — получение легко отделяющихся точных металлических копий, гальваностегия — нанесение металлических покрытий из одних металлов на изделия из других металлов), на городском транспорте (электропоезда, трамваи, троллейбусы), в осветительных приборах, в устройствах автоматики, электроники и вычислительной техники.

Если ток постоянный, то отсутствует явление самоиндукции и напряжение на катушке индуктивности равно нулю,

, так как i = const

Если рассматривать конденсатор как идеальную емкость, то в цепи постоянного тока эта ветвь равносильна разомкнутой.

Постоянный ток через емкость не проходит.

Таким образом, в цепи постоянного тока остаются только источники ЭДС или тока — активные элементы и приемники резисторы — пассивные элементы.

Простыми цепями постоянного тока называются цепи с одним источником при последовательном, параллельном и смешанном соединении приемников.

Последовательное соединение приемников

При параллельном соединении приемников напряжение на всех приемниках одинаково.

По закону Ома токи в каждой ветви:

По первому закону Кирхгофа общий ток

Смешанное соединение — комбинация первых двух соединений, где параллельное соединение может быть преобразовано к последовательному.

Сложной электрической цепью называется цепь, содержащая несколько источников и которую нельзя свернуть до простой цепи последовательного или параллельного соединения.

Расчет таких цепей ведется по уравнениям Кирхгофа.

Для их составления необходимо задать условные направления токов в ветвях (номер введем в соответствии с порядковым номером сопротивлений).

По первому закону Кирхгофа составляются уравнения для каждого из независимых узлов (для данной схемы таких узлов 3).

Выбираются направления обхода в каждом из независимых контуров и составляются уравнения по второму закону Кирхгофа — сумма падений напряжений на пассивных элементах замкнутого контура электрической цепи равна алгебраической сумме источников ЭДС в данном контуре:

Для нахождения решения необходимо любым математическим способом решить полученные шесть уравнений, что весьма сложно. Чтобы сократить число уравнений, используют метод контурных токов.

Для вывода уравнений по методу контурных токов в общем виде исключим из последних трех уравнений токи ветвей смежных контуров , заменив их выражениями, полученными из первых трех уравнений:

Введем обозначения контурных токов:

— ток первого контура;

— ток второго контура;

— ток третьего контура.

Для конкретизации и сокращения записи введем обозначения для контурных ЭДС, равных сумме ЭДС источников рассматриваемого контура:

и соответственно суммы сопротивлений в каждом контуре через контурные сопротивления:

а сопротивления смежных ветвей как:

При принятых обозначениях система расчетных уравнений запишется в общем виде как:

Мы видим, что при расчетах цепей с помощью правил Кирхгофа не обязательно знать разности потенциалов на определенных участках.

Практически правила Кирхгофа применяют следующим образом:

  1. совершенно произвольно указывают стрелками направления токов на каждом из участков контура, а у источников тока отмечают знаки полюсов. Если после вычислений по правилам Кирхгофа сила тока на данном участке оказывается больше нуля, то это означает, что истинное направление тока совпало с направлением, указанным стрелкой; в противном случае ток направлен противоположно;
  2. в выбранном произвольном контуре все его участки обходят в одном направлении — либо по часовой стрелке, либо в противоположном. При этом следует слагаемое IR считать положительным, если направление обхода контура совпадает с направлением тока. В противном случае это слагаемое отрицательно. Далее, если направление обхода контура выбрано от положительного полюса источника к отрицательному, то э. д. с. источника считается положительной; в противном случае э. д. с. входит в уравнение со знаком минус;
  3. произвольные контуры выделяют так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не вошедший в те уже рассмотренные контуры, для которых уравнения, согласно второму правилу Кирхгофа, уже составлены.

Совокупность независимых уравнений, составленных по правилам Кирхгофа, оказывается достаточной, чтобы найти все токи, сопротивления или э. д. с. в разветвленной цепи. Задача сводится, таким образом, к решению системы линейных уравнений, в которой число уравнений должно совпадать с числом неизвестных величин.

Метод узловых потенциалов

Вторым методом, которым пользуются для решения сложных цепей, является метод узловых потенциалов. Этот метод основан на составлении уравнений по первому закону Кирхгофа:

Читайте также:  Обмотка реле постоянного тока

Схема сложной электрической цепи с двумя узлами.

Токи каждой из параллельных ветвей определяются как:

Напряжения между точками с заданными потенциалами при

Подставив полученные значения токов в первое уравнение

получим выражение для потенциала

При решении методом узловых потенциалов необходимо помнить, что в левой части уравнения знак ЭДС (+), если она направлена к рассматриваемому узлу, и знак (-), если от узла. В случае последовательного соединения сопротивлений в ветви

В общем виде уравнения узловых потенциалов имеют вид:

Если в схеме имеются источники тока, то слагаемое в правой части будет равно сумме источников тока:

Метод узловых потенциалов имеет преимущество, если число независимых узлов меньше числа контуров.

При наличии источников тока контура надо выбирать так, чтобы источники входили только в один контур. Тогда ток этого контура будет равен току источника.

Баланс мощности

На основании закона сохранения энергии мощность, развиваемая источниками электрической энергии, должна быть равна мощности преобразования в цепи электрической энергии в другие виды энергии:

— сумма мощностей, развиваемых источниками;

— сумма мощностей всех приемников и необратимых преобразований энергии внутри источников.

Дополнительно по теме

Основные законы и методы расчета электрических цепей постоянного тока

Основные свойства электрических цепей постоянного тока

Источник

Метод контурных токов

В каждой электрической цепи имеются так называемые Р – ребра (они же ветви, звенья, участки) и У – узлы. Для ее описания существует система уравнений, в которых используются два правила Кирхгофа. В них, в качестве независимых переменных, выступают токи ребер. Поэтому количество независимых переменных будет равно количеству уравнений, что дает возможность нормального разрешения данной системы. На практике используются методы, направленные на сокращение числа уравнений. Среди них очень часто используется метод контурных токов, позволяющий выполнять расчеты и получать точные результаты.

Суть метода контурных токов

Метод контурных токов

Основные принципы данного метода основываются на том факте, что протекающие в ребрах цепи токи, не все считаются независимыми. Присутствующие в системе У-1 уравнения для узлов, четко показывают зависимость от них У-1 токов. При выделении в электрической цепи независимого тока Р-У+1, вся система может быть сокращена до уравнений Р-У+1. Таким образом, метод контурных токов представляет собой очень простое и удобное выделение в цепи независимых токов Р-У+1.

Использование данного способа расчетов допускает, что в каждом независимом контуре Р-У+1 осуществляется циркуляция определенного виртуального контурного тока. Если какое-либо ребро относится лишь к одному конкретному контуру, то значение протекающего в нем реального тока будет равно контурному. В том случае, когда ребро входит в состав сразу нескольких контуров, ток, протекающий в нем, будет представлять собой сумму, включающую в себя соответствующие контурные токи. В этом случае обязательно учитывается направление обхода контуров. Независимыми контурами перекрывается практически вся схема, поэтому ток, протекающий в каком угодно ребре может быть выражен путем контурных токов, составляющих полную систему всех токов.

Для того чтобы построить систему независимых контуров, используется простой и наглядный метод создания планарных графов. На данной схеме ветви и узлы цепи размещаются на плоскости таким образом, что взаимное пересечение ребер полностью исключается. С помощью этого метода плоскость разбивается на области, ограниченные замкнутыми цепочками ребер. Именно они и составляют систему независимых контуров. Данный метод более всего подходит для ручных расчетов схем. Однако его применение может стать затруднительным или вовсе невозможным, если рассматриваемая схема не укладывается в рамки планарного графа.

Другим способом расчетов служит метод выделения максимального дерева. Само дерево представлено в виде подмножества звеньев электрической цепи и является односвязным графом, в котором отсутствуют замкнутые контуры. Для того чтобы оно появилось, из цепи постепенно исключаются некоторые звенья. Дерево становится максимальным, когда к нему добавляется любое исключенное звено, в результате чего образуется контур.

Применение метода выделения максимального дерева представляет собой последовательное исключение из цепи заранее установленных звеньев в соответствии с определенными правилами. Каждый шаг в цепи предполагает произвольное исключение одного звена. Если такое исключение нарушает односвязность графа, разбивая его на две отдельные части, в этом случае звено может возвратиться обратно в цепь. Если граф остается односвязным, то и звено остается исключенным. В конечном итоге, количество звеньев, исключенных из цепи, оказывается равным количеству независимых контуров, расположенных в схеме. Получение каждого нового независимого контура связано с присоединением к электрической цепи конкретного исключенного звена.

Применение метода контурных токов для расчета цепи

В соответствии с этой методикой, неизвестными величинами являются расчетные или контурные токи, предположительно протекающие во всех независимых контурах. В связи с этим, все неизвестные токи и уравнения в системе, равны количеству независимых контуров электрической цепи.

Токи ветвей в соответствии с данным методом рассчитываются следующим образом:

  • В первую очередь вычерчивается схема цепи с обозначением всех ее элементов.
  • Далее определяется расположение всех независимых контуров.
  • Направления протекания контурных токов задаются произвольно по часовой или против часовой стрелки в каждом независимом контуре. Они обозначаются с использованием цифровых или комбинированных символов.
  • В соответствии со вторым законом Кирхгофа, затрагивающего контурные токи, составляются уравнения для всех независимых контуров. В записанном равенстве направления обхода контура и контурного тока этого же контура совпадают. Необходимо учитывать и то обстоятельство, что в ветвях, расположенных рядом, протекают собственные контурные токи. Падение напряжения потребителей берется отдельно от каждого тока.
  • Следующим этапом является решение полученной системы любым удобным методом, и окончательное определение контурных токов.
  • Нужно задать направление реальных токов во всех ветвях и обозначить их отдельной маркировкой, чтобы не перепутать с контурными.
  • Далее нужно от контурных токов перейти к реальным, исходя из того, что значение реального тока конкретной ветви составляет алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этой ветви.

Если направление контурного тока совпадает с направлением реального тока, то при выполнении алгебраического суммирования математический знак не меняется. В противном случае значение контурного тока нужно умножить на -1.

Метод контурных токов очень часто применяется для расчетов сложных цепей. В качестве примера для приведенной схемы нужно задать следующие параметры: Е1 = 24В, Е2 = 12В, r1 = r2 = 4 Ом, r3 = 1 Ом, r4 = 3 Ом.

Для решения этой сложной задачи составляются два уравнения, соответствующие двум независимым контурам. Направление контурных токов будет по часовой стрелке и обозначается I11 и I22. На основании второго закона Кирхгофа составляются следующие уравнения:

После решения системы получаются контурные токи со значением I11 = I22 = 3 А. Далее произвольно обозначается направление реальных токов, как I1, I2, I3. Все они имеют одинаковое направление – вверх по вертикали. После этого выполняется переход от контурных к реальным. В первой ветви имеется течение только одного контурного тока т I11. Его направление совпадает с реальным током, поэтому I1 + I11 = 3 А.

Формирование реального тока во второй ветке осуществляется за счет двух контурных токов I11 и I22. Направление тока I22 совпадает с реальным, а направление I11 будет строго противоположно реальному. Таким образом, I2 = I22 – I11 = 3 – 3 = 0 А. В третьей ветке I3 наблюдается течение лишь контурного тока I22. Его направление будет противоположным направлению реального тока, поэтому в данном случае расчеты выглядят следующим образом: I3 = -I22 = -3А.

Основным положительным качеством метода контурных токов по сравнению с вычислениями по законам Кирхгофа, является значительно меньшее количество уравнений, используемых для вычислений. Тем не менее, здесь присутствуют определенные сложности. Например, реальные токи ветвей не всегда удается определить быстро и с высокой точностью.

Источник