Меню

Векторных диаграмм для расчета электрических цепей переменного тока

Что такое векторная диаграмма токов и напряжений? Как построить график

Использование векторных диаграмм при анализе, расчете цепей переменного тока делает возможным рассмотреть более доступно и наглядно происходящие процессы, а также в некоторых случаях значительно упростить выполняемые расчеты.

Векторной диаграммой принято называть геометрическое представление изменяющихся по синусоидальному (либо косинусоидальному) закону направленных отрезков — векторов, отображающих параметры и величины действующих синусоидальных токов, напряжений либо их амплитудных величин.

Широкое применение векторные диаграммы нашли в электротехнике, теории колебаний, акустике, оптике и т.д.

Различают 2-х вида векторных диаграмм:

  • точные;
  • качественные.

Интересное видео о векторных диаграммах смотрите ниже:

Точные изображаются по результатам численных расчетов при условии соответствия масштабов действующих значений. При их построении можно геометрически определить фазы и амплитудные значения искомых величин.

Васильев Дмитрий Петрович

Они являются одним из основных средств анализа электрических цепей, позволяя наглядно иллюстрировать и качественно контролировать ход решения задачи и легко установить квадрант, в котором располагается искомый вектор.

Векторная диаграмма токов и напряжений 1

Для удобства при построении диаграмм анализируют неподвижные векторы для определенного момента времени, который выбирается таким образом, чтобы диаграмма имела удобный для понимания вид. Ось OХ соответствует величинам действительных чисел, ось OY — оси мнимых чисел (мнимая единица). Синусоида отображает движение конца проекции на ось OY. Каждому напряжению и току соответствует собственный вектор на плоскости в полярных координатах. Его длина отображает амплитудное значение величины тока, при этом угол равен фазе.

Векторы, изображаемые на такой диаграмме, характеризуются равновеликой угловой частотой ω. В виду чего при вращении их взаимное расположение не изменяется.

Ещё одно полезное видео о векторных диаграммах:

Поэтому при изображении векторных диаграмм один вектор можно направить произвольным образом (например, по оси ОХ).

А остальные — изображать по отношению к исходному под различными углами, соответственно равными углам сдвига фаз.

Векторная диаграмма токов и напряжений 3

Таким образом, векторная диаграмма дает отчетливое представление об опережении либо отставании различных электрических величин.
Допустим у нас есть ток, величина которого изменяется по некоторому закону:

i = Im sin (ω t + φ).

С начала координат 0 под углом φ проведем вектор Im, величина которого соответствует Im. Его направление выбирается так, чтобы с положительным направлением оси OX вектор составлял угол — соответствующий фазе φ.

Абрамян Евгений Павлович

В основном векторные диаграммы изображают для действующих значений, а не амплитудных. Векторы действующих значений количественно отличаются от амплитудных значений — масштабом, поскольку:

I = Im /√2.

Векторная диаграмма токов и напряжений 4

Основным преимуществом векторных диаграмм называют возможность простого и быстрого сложения и вычитания 2-х параметров при расчете электроцепей.

Источник

Что такое векторные диаграммы и для чего они нужны

Что такое векторные диаграммы и для чего они нужныПрименение векторных диаграмм при расчете и исследовании электрических цепей переменного тока позволяет наглядно представлять рассматриваемые процессы и упрощать производимые электротехнические расчеты.

При расчете цепей переменного тока часто приходится суммировать (или вычитать) несколько однородных синусоидально изменяющихся величин одной и той же частоты, но имеющих разные амплитуды и начальные фазы. Такую задачу можно решать аналитическим путем тригонометрических преобразований или геометрически. Геометрический метод более прост и нагляден, чем аналитический.

Векторные диаграммы являются совокупностью векторов, изображающих действующие синусоидальные ЭДС и токи или их амплитудные значения.

Гармонически изменяющееся напряжение определяется выражением u = Um sin ( ωt + ψ и ).

Расположим под углом ψ и относительно положительной оси абсцисс х вектор U m , длина которого в произвольно выбранном масштабе равна амплитуде изображаемой гармонической величины (рис. 1). Положительные углы будем откладывать в направлении против вращения часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке. Предположим, что вектор U m , начиная с момента времени t = 0, вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с постоянной частотой вращения ω , равной угловой частоте изображаемого напряжения. В момент времени t вектор Um повернется на угол ωt и будет расположен под углом ωt + ψ и по отношению к оси абсцисс. Проекция этого вектора на ось ординат в выбранном масштабе равна мгновенному значению изображаемого напряжения: u = Um sin ( ωt + ψ и ).

Читайте также:  Обратный проводник от свариваемого изделия до источника тока

Изображение синусоидального напряжения вращающегося вектора

Рис. 1. Изображение синусоидального напряжения вращающегося вектора

Следовательно, величину, изменяющуюся гармонически во времени, можно изображать вращающимся вектором . При начальной фазе, равной нулю, когда u = 0 , вектор U m для t = 0 должен быть расположен на оси абсцисс.

График зависимости любой переменной (в том числе и гармонической) величины от времени называется временной диаграммой . Для гармонических величин по оси абсцисс удобнее откладывать не само время t, а пропорциональную ему величину ωt . Временные диаграммы полностью определяют гармоническую функцию, так как дают представление о начальной фазе, амплитуде и о периоде.

Обычно при расчете цепи нас интересуют только действующие ЭДС, напряжения и токи или амплитуды этих величин, а также их сдвиг по фазе относительно друг друга. Поэтому обычно рассматриваются неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирается так, чтобы диаграмма была наглядной. Такая диаграмма называется векторной диаграммой . При этом углы сдвига по фазе откладываются в направлении вращения векторов (против часовой стрелки), если они положительные, и в обратном направлении, если они отрицательные.

Если, например, начальный фазовый угол напряжения ψ и больше начального фазового угла ψi то сдвиг по фазе φ = ψ и — ψi и этот угол откладывается в положительном направлении от вектора тока.

При расчете цепи переменного тока часто приходится складывать ЭДС, токи или напряжения одной и той же частоты.

Предположим, что требуется сложить две ЭДС: e1 = E1 m sin ( ωt + ψ 1e ) и e 2 = E 2m sin ( ωt + ψ 2 e ) .

Такое сложение можно осуществить аналитически и графически. Последний способ более нагляден и прост. Две складываемые ЭДС е1 и е2 в определенном масштабе представлены векторами E1 m E 2m (рис. 2). При вращении этих векторов с одной и той же частотой вращения, равной угловой частоте, взаимное расположение вращающихся векторов остается неизменным.

Графическое сложение двух синусоидальных ЭДС одинаковой частоты

Рис. 2. Графическое сложение двух синусоидальных ЭДС одинаковой частоты

Сумма проекций вращающихся векторов E1 m и E 2m на ось ординат равна проекции на ту же ось вектора E m, являющегося их геометрической суммой. Следовательно, при сложения двух синусоидальных ЭДС одной и той же частоты получается синусоидальная ЭДС той же частоты, амплитуда которой изображается вектором E m, равным геометрической сумме векторов E1 m и E 2m: E m = E1 m + E 2m.

Векторы переменных ЭДС и токов являются графическими изображениями ЭДС и токов в отличие от векторов физических величин, имеющих определенное физическое значение: вектора силы, напряженности поля и других.

Указанный способ можно применить для сложения и вычитания любого числа ЭДС и токов одной частоты. Вычитание двух синусоидальных величин можно представить в виде сложения: e1— e2 = e1+ (- e2), т. е. уменьшаемая величина складывается с вычитаемой, взятой с обратным знаком. Обычно векторные диаграммы строятся не для амплитудных значений переменных ЭДС и токов, а для действующих величин, пропорциональных амплитудным значениям, так как все расчеты цепей обычно выполняются для действующих ЭДС и токов.

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на нее в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Читайте также:  Регулировать скорость двигателя переменного тока можно следующими способами

Не нашли, то что искали? Используйте форму поиска по сайту

Источник



Векторная диаграмма для цепи переменного тока

Для наглядного изображения соотношения между переменным током в цепи и внешним напряжением применяют метод векторных диаграмм.

Пусть внешнее напряжение меняется по закону: (5.97)

а) если цепь обладает только активным сопротивлением R (рис.5.24), то ток через него определяется законом Ома:

где амплитуда силы тока: .

В этом случае сдвиг по фазе между Im и Um равен нулю, что изображено на векторной диаграмме (рис. 5.25.)

б) если цепь обладает только индуктивным сопротивлением (рис.5.26), то при протекании в ней переменного тока возникает э.д.с. самоиндукции и закон Ома будет иметь вид:

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то: (5.100)

есть — падение напряжения на катушке. Из уравнения (5.99) следует, что:

После интегрирования получаем:

Подстановка значения в выражение (5.100) приводит к зависимости падения напряжения на катушке индуктивности:

Сравнение выражений (5.102) и (5.101) приводит к выводу, что опережает по фазе ток, текущий через катушку, на , что показано на векторной диаграмме (5.27).

в) если в цепь переменного тока включен только конденсатор (рис. 5.28), то падение напряжения на конденсаторе:

Сила тока в цепи:

Падение напряжения на конденсаторе отстает по фазе на от тока, текущего через конденсатор (сравните (5.103) и (5.104)). Это показано на векторной диаграмме (рис. 5.29)

Реальная цепь переменного тока обладает и активным, и индуктивным, и емкостным сопротивлением. Переменный ток вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения , и (рис.5.30).

Амплитуда приложенного внешнего напряжения должна быть равна геометрической сумме амплитуд этих падений напряжения рис. 5.31).

Сдвиг по фазе между током и внешним напряжением зависит от параметров цепи переменного тока. Из рис. 5.31 видно, что: , что согласуется с (5.93).

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

3.1 Расчет цепей синусоидального тока методом векторных диаграмм

3.1 Расчет цепей синусоидального тока методом векторных диаграмм

Полезной иллюстрацией расчета любой электрической цепи является ее топографическая диаграмма напряжений и векторная лучевая диаграмма токов или векторная диаграмма токов и векторная диаграмма напряжений на комплексной плоскости, которая позволяет находить графическим путем напряжения между любыми точками электрической цепи без дополнительных вычислений Примеры решения типовых задач методом векторных диаграмм

Задача 3.1.1 Для схемы рис. 3.1.1 определить токи во всех ветвях и напряжения на всех участках, составить баланс активных и реактивных мощностей, построить полную векторную диаграмму цепи, записать мгновенные значения токов, если U = Umsin(ωt + ψU), Um =600 В, ψU = –90°, R1 = 10 Ом, Х2 = R3 = Х3 = 20 Ом, Х4 = 50 Ом.

1. Заменим разветвленный участок эквивалентной ветвью с параметрами R23 и X23, для чего рассчитаем активные и реактивные проводимости параллельных ветвей

g 2 = R 2 Z 2 2 = R 2 R 2 2 + X 2 2 = 0 ; b 2 = X 2 Z 2 2 = X 2 R 2 2 + X 2 2 = 20 0 + 20 2 = 0,05 С м ; g 3 = R 3 Z 3 2 = R 3 R 3 2 + X 3 2 = 20 20 2 + 20 2 = 0,025 С м ; b 3 = − X 3 Z 3 2 = − X 3 R 3 2 + X 3 2 = − 20 20 2 + 20 2 = − 0,025 С м ; g 23 = g 2 + g 3 = 0 + 0,025 С м ; b 23 = b 2 + b 3 = 0,05 + ( − 0,025 ) = 0,025 С м ; R 23 = g 23 y 23 2 = g 23 g 23 2 + b 23 2 = 0,025 0,025 2 + 0,025 2 = 20 О м ; X 23 = b 23 y 23 2 = b 23 g 23 2 + b 23 2 = 0,025 0,025 2 + 0,025 2 = 20 О м .

2. Эквивалентная схема приведена на рис. 3.1.2, по которой рассчитаем ток неразветвленной части исходной схемы

i 1 = I 1 m sin ( ω t + ψ U − φ в х ) ,

Читайте также:  Что характеризует внешняя характеристика источника сварочного тока

I 1 m = U m ( R 1 + R 23 ) 2 + ( X 23 − X 4 ) 2 = 600 ( 10 + 20 ) 2 + ( 20 − 50 ) 2 = − 10 2 А ; φ в х = a r c t g X 23 − X 4 R 1 + R 23 = a r c t g 20 − 50 10 + 20 = − 45 ° .

Таким образом, мгновенное значение тока

i 1 = I 1 m sin ( ω t + ψ U − φ в х ) = 10 2 sin [ ω t + ( − 90 ° ) − ( − 45 ° ) ] = 10 2 sin ( ω t − 45 ° ) А .

Действующее значение тока

I 1 = I 1 m 2 = 10 2 2 = 10 А .

3. Напряжение на эквивалентном участке

U b d = U b d m sin ( ω t + ψ U − φ в х + φ 23 ) ,

U b d m = I 1 m Z 23 = I 1 m R 23 2 + X 23 2 = 10 2 ⋅ 20 2 + 20 2 = 400 В ; φ 23 = a r c t g X 23 R 23 = a r c t g 20 20 = 45 ° .

U b d = U b d m sin ( ω t + ψ U − φ в х + φ 23 ) = 400 sin [ ω t + ( − 90 ° ) − ( − 45 ° ) + 45 ° ] = 400 sin ( ω t ) В .

4. Действующее значение токов параллельных ветвей и напряжения эквивалентного участка:

U b d = U b d m 2 = 400 2 = 200 2 В ; I 2 = U b d Z 2 = U b d X 2 = 200 2 20 = 10 2 А ; I 3 = U b d Z 3 = U b d R 3 2 + X 3 2 = 200 2 20 2 + 20 2 = 10 А .

5. Углы сдвига фаз напряжений и токов второй и третьей ветвей

φ 2 = a r c t g X 2 R 2 = a r c t g 20 0 = 90 ° ; φ 3 = a r c t g − X 3 R 3 = a r c t g − 10 20 = − 45 ° .

6. Мгновенные значения токов параллельных ветвей

i 2 = I 2 2 sin ( ω t + ψ U b d − φ 2 ) = 20 sin ( ω t − 90 ° ) А ; i 3 = I 3 2 sin ( ω t + ψ U b d − φ 3 ) = 10 2 sin ( ω t + 45 ° ) А ,

ψ U b d = ψ U − ψ в х + φ 23 = ( − 90 ° ) − ( − 45 ° ) + 45 ° = 0.

7. Проверим баланс активных мощностей

P и с т = U I 1 cos φ в х = 600 2 ⋅ 10 ⋅ cos ( − 45 ° ) = 3000 В т ; P п о т р = I 1 2 R 1 + I 3 2 R 3 = 10 2 ⋅ 10 + 10 2 ⋅ 20 = 3000 В т ; P и с т = P п о т р = 3000 В т .

8. Проверим баланс реактивных мощностей

Q и с т = U I 1 sin φ в х = 600 2 ⋅ 10 ⋅ sin ( − 45 ° ) = − 3000 в а р ; Q п о т р = I 1 2 ( − X 4 ) + I 2 2 X 2 + I 3 2 ( − X 3 ) = 10 2 ⋅ ( − 50 ) + ( 10 2 ) 2 ⋅ 20 + 10 2 ⋅ ( − 20 ) = − 3000 в а р ; Q и с т = Q п о т р = − 3000 в а р .

Таким образом, баланс активных и реактивных мощностей сходится, т.е. задача решена верно, и можно переходить к построению полной векторной диаграммы.

9. Рассчитаем напряжения на элементах электрической цепи

U a b = I 1 R 1 = 10 ⋅ 10 = 100 В ; U b d = I 2 X 2 = 10 2 ⋅ 20 = 200 2 В ; U b c = I 3 R 3 = 10 ⋅ 20 = 200 В ; U c d = I 3 X 3 = 10 ⋅ 20 = 200 В ; U d e = I 1 X 4 = 10 ⋅ 50 = 500 В .

Векторная диаграмма приведена на рис. 3.1.3.

Задача 3.1.2 В схеме рис. 3.1.4 известны показания приборов вольтметра – 100 В, первого амперметра – 3 А, второго амперметра – 2 А, ваттметра – 160 Вт.

Рассчитать параметры схемы X1, X2, R2.

Показание ваттметра определяется выражением активной мощности участка электрической цепи

P W = U W I W cos ( U ¯ W I ¯ W ^ ) = U I 2 cos φ 2 = I 2 2 R 2 = P 2 ,

R 2 = P 2 I 2 2 = P W I 2 2 = 160 2 2 = 40 О м .

Полное сопротивление второй ветви

Z 2 = R 2 2 + X 2 2 = U I 2 = 100 2 = 50 О м ,

X 2 = Z 2 2 − R 2 2 = 50 2 − 40 2 = 30 О м .

Из треугольника сопротивлений второй ветви

cos φ 2 = R 2 Z 2 = 40 50 = 0,8 ; sin φ 2 = X 2 Z 2 = 30 50 = 0,6.

Активная составляющая тока

I 2 а = I 2 cos φ 2 = 2 ⋅ 0,8 = 1,6 А .

Реактивная составляющая тока

I 2 р = I 2 sin φ 2 = 2 ⋅ 0,6 = 1,2 А .

На основании векторной диаграммы рис. 3.1.5 определяем ток в емкости

I 1 = I 2 р + I 2 − I 2 а 2 = 1,2 + 3 2 − 1,6 2 = 3,74 А .

По закону Ома находим емкостное сопротивление

Источник