Меню

Вычислить ток в диагонали моста r4 используя преобразование треугольника

Самостоятельная работа студентов. Электрические цепи постоянного тока

1 Самостоятельная работа студентов. Электрические цепи постоянного тока Задача 1. В схеме (рис. 1) R1 = R3 = 40 Ом, R2 = 20 Ом, R4 = 30 Ом, I3 = 5 А. Вычислить напряжение источника U и ток I4. Ответ: 900 В; 6,67 А. Задача 2. В схеме (рис. 1) напряжение U = 65 В, напряжение на зажимах резистора R4 равно 20 В. Определить все токи в схеме, если R2 = 15 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 30 Ом. Ответ: I1 = I2 = 2 А; I3 = 1,5 А; I4 = 0,5 А. Задача 3. В схеме (рис. 2) R1 = 10 Ом, R2 = 5 Ом, R3 = 10 Ом, I3 = 2 А. Найти напряжение источника U. Ответ: 80 В. Задача 4. К схеме (рис. 2) приложено напряжение U = 45 В, при этом ток источника I1 = 1,25 А. Сопротивления ветвей параллельной части схемы равны: R2 = 40 Ом, R3 = 10 Ом. Найти R1 и токи I2, I3. Ответ: R1 = 28 Ом, I2 = 0,25 А, I3=1 А. Рис. 1 Рис.2 Задача 5. В схеме (рис. 3) R1 = 50 Ом, ток источника I = 0,6 А, ток в резисторе R3 равен I3 = 0,4 А, мощность, расходуемая в резисторе R4: P4 = 0,4 Вт; напряжение на резисторе R2: U2 = 36 В. Определить напряжение источника U. Ответ: U = 68 В. Задача 6. Мощности, расходуемые в сопротивлениях схемы (рис. 3): P1 = 15 Вт, P2 = 20 Вт, P3 = 10,8 Вт, P4 = 7,2 Вт. Определить напряжения на участках схемы и токи в ее ветвях, если приложенное к ней напряжение U = 106 Вт. Ответ: I = 0,5 А; I3 = 0,3 А; I4 = 0,2 А; U1 = 30 В; U2 = 40 В; U = 36 В. Задача 7. Для схемы (рис. 4) дано: R1 = 2 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 60 Ом, R5 = 22 Ом, R6 = 5 Ом, E = 12 В. Вычислить ток в диагонали моста R4, используя преобразование треугольника резисторов R2, R3, R4 в эквивалентную звезду. Ответ: I4 = 0,077 А. Задача 8. В схеме (рис. 4) определить ток источника, используя преобразование звезды резисторов R2, R4, R5 в эквивалентный треугольник, если R2 = 6 Ом, R3 = 42 Ом, R4 = 12 Ом, R5 = 24 Ом, R6 = 28 Ом, I3 = 0,5 А. Ответ: I = 2,75 А.

2 Рис. 3 Рис.4 Задача 9. Для схемы (рис. 5) входные напряжения: U1 = +10 В, U2 = -15 В, U3 = +20 В, R1 = R2 = R3 = 500 Ом, Rн = 1000 Ом. Методом узлового напряжения определить выходное напряжение Uвых. Ответ: Uвых = 4,3 В. Задача 10. В схеме (рис. 6) E1 = 120 В, E5 = 140 В, R1 = 70 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 135 Ом, R4 = 210 Ом, R5 = 140 Ом. Определить методом эквивалентного генератора величину и направление тока в резисторе R3. Ответ: I3 = 0,2 А. Рис. 5 Рис.6

3 Электрические цепи переменного тока Задача 1. Для схемы (рис. 1) определить показания вольтметра, если задано: U = 50 В; XL = 3 Ом; R = 4 Ом. Ответ: 40 В. Рис.1 Задача 2. Для схемы (рис. 2) определить UL, если задано: U = 10 В; UR = 6 В; UC = 2 В; а XL > XC. Ответ: 10 В. Рис.2 Задача 3. Для схемы (рис. 3) определить XC, если U = 150 В; а показания приборов PW = 500 В; PA = 5 A. Ответ: 22,4 Ом. Рис.3

4 Задача 4. В схеме (рис. 4) определить показания амперметра, если U = 240 Ом; XC = 60 Ом; R = 80 Ом. Ответ: 5 А. Рис.4 Задача 5. Для схемы (рис. 5) определить по векторной диаграмме как изменятся показания амперметра при замыкании ключа, если R = XL = XC = 2 Ом. Ответ: уменьшаться. Рис.5 Задача 6. Для схемы (рис. 6) определить как изменятся показания приборов, если частота питающего напряжения увеличится. Ответ дать в доказательной форме. Ответ: I2 не изменится, P, I1, I3 уменьшаться. Рис.6

5 Задача 7. Для схемы (рис. 7) определить величину приложенного напряжения U, если XL = 8 Ом, а приборы показывают PW = 96 Вт; PA = 4 А. Ответ: 40 В. Рис.7 Задача 8. Для схемы (рис. 8) определить показания приборов, если U = 100 Вт; XL1 = XL2 = XС = R = 1 Ом. Ответ: PW = 0 Вт; PA = 0 А. Рис.8

6 Расчет трехфазных цепей при соединении потребителей звездой и треугольником Задача1. Трехфазный асинхронный двигатель, соединенный звездой, включен в сеть с UЛ = 380 В. Сопротивление каждой фазы двигателя равно ZФ = 5 + j5 Ом. Привести схему включения двигателя, определить потребляемую им активную мощность и построить векторную диаграмму. Ответ: Вт. Задача 2. В трехфазную сеть с UЛ = 380 В включен соединенный звездой трехфазный асинхронный двигатель с PН = 3 квт, IН = 10 А, ηн = 90 %. Начертить схему включения двигателя, вычислить параметры его схемы замещения RФ, XФ. Построить векторную диаграмму. Ответ: RФ = 11,16 Ом, XФ = 18,96 Ом Задача 3. Три одинаковых резистора RA = RB = RC = 10 Ом соединены звездой и подключены к источнику с UЛ = 220 В. Найти токи в схеме в исходном режиме и при обрыве провода «A» при работе с нейтральным проводом и без него. Построить векторные диаграммы. Ответ: Исходный режим IA = IB = IC = 12,7 В; обрыв фазы «A» при наличии нейтрали IA = 0; IB = IC = IN = 12,7 А; обрыв фазы при отсутствии нейтрали IA = 0; IB = IC = 11 А. Задача 4. В трехфазную сеть с UЛ = 380 В включен по схеме треугольник асинхронный двигатель, имеющий ZФ = 19 Ом, cos φф = 0,8. Найти линейные токи и активную мощность, потребляемую двигателем из сети. Построить векторную диаграмму. Ответ: 34,6 А; 18,2 квт. Задача 5. В сеть с UЛ = 380 В включен соединенный треугольником симметричный приемник ZФ = (6 + j8) Ом. Найти линейные токи, активную и реактивную мощности цепи. Ответ: 66А; 26кВт; 34,7 квар. Задача 6. Трехфазная печь включена в сеть с UЛ = 380 В по схеме треугольник. Найти линейный ток и мощность печи, если RФ = 10 Ом. Как изменятся линейный ток и мощность печи, если ее включить в ту же сеть по схеме звезда? Ответ: 65,7 А; 43,2 квт; 21,9 А; 14,4 квт.

7 Электрические цепи магнитного тока а) Магнитные цепи с постоянными намагничивающими токами Рис. 1 Тороидальный магнитопровод. Рис. 2 П-образный магнитопровод 1. На тороидальный магнитопровод (рис.1) равномерно намотана обмотка с числом витков W = 200, поперечное сечение кольца прямоугольное, размеры кольца: D = 16 см; d = 10 см; толщина В = 4 см. Определить ток в обмотке, при котором магнитный поток в сердечнике Ф = Вб. Материал сердечника электротехническая сталь Э 42 (таблица 1). Ответ: 0,6 А. Таблица 1 Марка стали В, Тл Э 11, Э 12 Н, А/м Э 41, Э 42 Н, А/м Э 320 Н, А/м Литая сталь Н, А/м Пермендюр Н, А/м Ковкий чугун Н, А/м 0, , , , , , , , ,

8 Мощность удельных потерь в электротехнической стали при В = 1 Тл, f = 50 Гц, толщине листа 0,5 мм Материал Э 11 Э 12 Э 21 Э 41 Э 42 Руд, Вт/кг 3,3 3,1 2,5 1,55 1,4 2. Найти индуктивность катушки, если ток в обмотке (рис. 2) I = 20 А, число витков W = 180, сердечник выполнен из стали Э 42. Размеры сердечника: L1 = 35 см; L2 = 20 см; толщина сердечника b = 6 см. Ответ: 49,5 мгн. 3. В сердечнике задачи 1 (рис. 1) пропилили зазор толщиной δ = 0,1 см. Определить, как нужно изменить ток в катушке, чтобы магнитный поток в сердечнике не изменился. Ответ: 4,6 А. 4. В сердечнике задачи 1 (рис. 1) сделан зазор толщиной δ = 0,2 см. Ток в обмотке I = 1,17 А. Определить величину магнитного потока, который будет создаваться в сердечнике при заданном токе. Задачу решить приближенно и с помощью построения магнитной характеристики. Сравнить полученные результаты. Ответ: 1, Вб; 1, Вб. 5. Определить магнитодвижущую силу катушки (рис. 3) с сердечником из стали Э 12, если Ф = Вб, S = 4 см2, L = 100 см, δ = 0,02 см. Как изменится индуктивность катушки, если длину магнитного зазора увеличить? Ответ: 661 А, уменьшится. 6. Определить магнитодвижущую силу катушки (рис. 4), размещенной на сердечнике из стали Э 12, чтобы магнитная индукция в зазоре составляла B0 = 0,852 Тл. Сердечник имеет одинаковую толщину. Размеры сердечника заданы: L1 = 23 см, L2 = 24 см, δ = 0,01 см, b = 4 см. Ответ: 393 А. Рис. 3 Рис. 4

9 б) Магнитные цепи с переменными намагничивающими токами 1. Даны показания приборов (рис. 5): Р = 50 Вт, U = 127 В, I = 0,5 А. Активным сопротивлением обмотки и потоком рассеяния пренебречь. Построить векторную диаграмму. Определить параметры последовательной и параллельной схем замещения. Ответ: R0 = 200 Ом, Х0 = 157 Ом, R0 = 326 Ом, Х0 = 397 Ом. Рис Показания приборов (рис. 5): Р = 150 Вт, U = 120 В, I = 10 А. После удаления сердечника приборы показали: Р = 72 Вт, U = 120 В, I = 12 А. Построить векторную диаграмму. Определить параметры последовательной схемы замещения. Потоком рассеяния пренебречь в катушке с сердечником. Ответ: R = 0,5 Ом, R0 = 1 Ом, Х0 = 11,9 Ом. 3. Ток в катушке со стальным сердечником I1 = 2 А, мощность потерь Р1 = 20 Вт. Определить потери в меди и потери в стали, если при вынутом сердечнике ток и активная мощность имеют значения: I2 = 8 А и Р2 = 64 Вт. Ответ: РCu = 4 Вт, Рст = 16 Вт. 4. К сети переменного тока подключена катушка со стальным сердечником. Определить напряжение сети, активную и реактивную составляющие тока, если задано: Фm = 0,01 Вб, I = 10 А, f = 50 Гц, W = 100, Р = 400 Вт. Ответ: U = 222 В, Ia = 1,8 А, Iр = 9,84 А. 5. Сердечник из электротехнической стали вдвигаемой в катушку и служит для изменения индуктивности катушки. Напряжение сести U = 220 В, частота сети f = 50 Гц. Активное сопротивление катушки R = 10 Ом, потерями в стали пренебречь. Построить векторную диаграмму и определить индуктивность катушки для трех случаев: а) при полностью вставленном сердечнике, если I1 = 2 А; б) при частично вынутом сердечнике, если I2 = 8 А; в) при полностью удаленном сердечнике, если I3 = 15 А. Ответ: 350 мгн; 81,7 мгн; 34,2 мгн.

Читайте также:  В генераторе постоянного тока происходит преобразование чего

10 6. Для катушки, приведенной в задаче 5, определить амплитуду магнитного потока, если число витков W = Как изменится Фm, если частота уменьшится в 2 раза? Ответ: Вб. 7. Катушка имеет W = 200 витков и питается от сети переменного тока с частотой f = 50 Гц, U = 127 В. Ток в катушке I = 6 А, потребляемая из сети активная мощность Р = 172 Вт. Сопротивление катушки, измеренное на постоянном токе, R = 2 Ом. Построить векторную диаграмму. Определить индуктированную в катушке ЭДС Е, амплитуду магнитного потока Фm, cos φ, мощность потерь в меди РCu и в стали Рст. Ответ: 123,7 В; 278, Вб; 0,226; 72 Вт; 100 Вт. 8. Для определения амплитуды магнитной индукции Вm на сердечник катушки была намотана измерительная обмотка с числом витков W = 60. Площадь сечения сердечника Sст = 4 см2. При частоте f = 50 Гц напряжение на измерительной обмотке U = 7,5 В. Найти величину Вm. Ответ: 1,41 Тл.

11 Анализ переходных процессов в цепях постоянного тока классическим методом 1. Сформулируйте законы коммутации и объясните их физический смысл. 2. Катушка с параметрами L и R подключается к источнику постоянного напряжения. Составьте для этой цепи дифференциальное уравнение переходного процесса. Начертите схему. 3. Для случая, описанного в п. 2, выведите выражение тока для переходного процесса. Начертите соответствующую кривую тока. 4. Как определить постоянную времени цепи по заданной кривой тока переходного процесса? Объясните смысл и значение постоянной времени. 5. Через какой промежуток времени переходный процесс в цепи практически заканчивается? 6. По катушке с параметрами L и R проходит постоянный ток I. Затем катушка замыкается накоротко. Выведите выражение для тока переходного процесса, начертите кривую тока. 7. Катушка с параметрами L и R подключается к сети с синусоидальным выражением u(t) = Umsin(ωt + ψ). Составьте для данного случая дифференциальное уравнение переходного процесса. Напишите выражения для вынужденного, свободного и переходного токов. 8. К сети с постоянным напряжением подключается цепь, состоящая из соединенных последовательно резистора R и конденсатора С. Чему равны напряжения на конденсаторе и ток в переходном процессе? Начертите соответствующие кривые. 9. Изобразите схему простейшего RC-генератора, кривую изменения его напряжения и объясните работу. 10. В цепи с последовательным соединением R = 3 Ом и L = 13,7 мгн напряжение источника U = 60 В. Определить: напряжения на R и L (ur и ul) в первый момент после включения рубильника; указанные напряжения ur и ul в установившихся режимах при включенном и выключенном рубильнике;

12 ток в первый момент после включения рубильника; ток в установившихся режимах после включения и выключения рубильника; 11. В цепи с последовательным соединением R = 6 Ом и L = 24 мгн, U = 120 В. Определить: ток и скорость изменения тока в начальный момент времени переходного процесса при замыкании цепи; постоянную времени цепи, ток и энергию магнитного поля в установившемся режиме; как изменятся величины, определенные в a) и b), если индуктивность цепи уменьшить в 2 раза; напряжение U увеличить в 2 раза; сопротивление цепи увеличить в 2 раза? мгновенные значения переходного тока в моменты времени t1 = c, t2 = c после замыкания рубильника. 12. В цепи с последовательным соединением R и C напряжение источника U = 60 В. Определить напряжения ur и ul в первый момент после включения рубильника и в установившихся режимах после включения и после выключения рубильника. 13. В цепи с R = 6 Ом и С = 398 мкф напряжение U = 90 В. Определить ток в цепи в первый момент после включения рубильника и в установившихся режимах после включения и после выключения рубильника. 14. Построить график тока в цепи с R = 10 Ом, L = 0,1 Гн и U = 100 В при отключении цепи от источника и замыкании на разрядное сопротивление Rp: а) Rp = 10 Ом; б) Rp = 0 Ом. 15. Катушка с параметрами R = 0,5 Ом, L = 0,1 Гн соединена параллельно с резистором Rp = 10 Ом и подключена к источнику постоянного напряжения U = 2 В. Определить ЭДС самоиндукции в катушке в момент отключения цепи от источника. 16. Катушка электромагнитного реле, имеющая сопротивление R = 4 Ом, индуктивность L = 1 Гн, работает при постоянном напряжении U = 24 В. Какое сопротивление следует включить параллельно катушке, чтобы

13 в момент ее отключения э.д.с. самоиндукции превышала рабочее напряжение не более чем в 2 раза? 17. Как изменится продолжительность переходного процесса (реальная) при зарядке конденсатора, если изменить одну из следующих величин: напряжение источника увеличить в 2 раза; сопротивление R уменьшить в 2 раза; емкость С увеличить в 2 раза? 18. Определить энергию, выделенную в резисторе, если конденсатор заряжался в течение t = 3 τ3 и скорость изменения напряжения на конденсаторе при зарядке в моменты времени t1 = τ3, t2 = 2 τ Напряжение на зажимах источника в схеме (рис. 1) U = 100 В. После окончания процесса зарядки конденсатора переключатель П переведен из положения 1 в нейтральное положение, а затем в положение 2. Найти напряжение между контактами переключателя П (U13 и U) в случаях: переключатель в положении 1; переключатель в нейтральном положении; переключатель в положении 2 начальный момент переходного процесса; переключатель в положении 2 зарядка конденсатора кончилась. Рис Согласно условию задачи 19 после периода зарядки конденсатора t = 2 τ3 переключатель П переведен из положения 1 в положение 2.

14 Определить энергию, израсходованную в цепи за время разрядки конденсатора. Решение. При зарядке конденсатора энергия, израсходованная в элементе цепи с сопротивлением R, равна убыли энергии электрического поля конденсатора в одно и то же время. Энергия электрического поля к концу зарядки конденсатора Вся эта энергия выделяется в виде тепла в сопротивлении при разрядке конденсатора. Таким образом, общая энергия, выделенная в сопротивлении R при зарядке и разрядке, составляет Для задачи 20: определите энергию, выделенную в резисторе R, если конденсатор заряжался в течение времени t = 3 τ3, а разряжался в течение времени t = 2 τр, после чего цепь разрядки была разомкнута; τ3 и τр — постоянные времени цепи при зарядке и разрядке конденсатора; определить скорость изменения тока при разрядке конденсатора в начальный момент времени и при t = τр. 21. Катушка с параметрами R = 3,14 Ом, L = 0,01 Гн подключается к источнику синусоидального напряжения частотой f = 50 Гц. Какой должна быть начальная фаза напряжения, чтобы сразу после включения наступил принужденный режим? 22. Катушка с параметрами R = 10 Ом, L = 0,05 Гн включается в сеть синусоидального напряжения (U = 115,5 В, f = 50 Гц). Определить величину тока в цепи через полупериод после включения при условии, что в момент включения принужденный ток имел отрицательный максимум.

Источник

Преобразование треугольника в звезду — методы, формулы и примеры

Общие сведения

Электрическая цепь предназначена для обеспечения протекания по ней токов определённой величины. Она содержит источники и приёмники энергии, которые соединены проводниками. При изображении радиоэлементов используют их графические обозначения. Электрические же соединения обозначают прямыми линиями. Замкнутые проводники образовывают контуры. В их состав входят узлы (точки контакта трёх и более линий) и ветви (соединители).

Существует 2 способа обеспечения контакта между элементами:

  • параллельный — при таком включении в цепи не будет ни одного узла;
  • последовательный — входящие в цепь эквиваленты присоединены к одной точке, связанной или не имеющей контакта с другой.

В основе преобразований лежит приведение схемы к упрощённому виду без изменения величины тока или напряжения. Для этого выделяют один контур и заменяют его эквивалентным сопротивлением. При последовательном соединении импеданс просто складывают, а вот при параллельном используют формулу: 1/R = 1/R1 + 1/R2 +…1/Rn.

Таким образом, путем замены пары элементов одним, схема последовательно упрощается до тех пор, пока в ней не окажется один резистор. А уже по его величине и рассчитывают ток цепи. Но в некоторых случаях существуют соединения, которые не поддаются методу упрощения. Если внимательно посмотреть на такую цепь, можно увидеть подключение, похожее на треугольник. В таком случае невозможно определить, какие элементы параллельные, а какие последовательные.

Читайте также:  Теллурические токи земли это

Чтобы найти эквивалентное сопротивление таких сложных соединений, используют преобразование треугольника в равнозначную звезду. По сути, при треугольном подключении 3 элемента образуют замкнутый контур. При этом между каждой парой резисторов имеется узел. Связь же звездой образуется при получении трёх лучевого соединения, в котором каждый элемент цепи подсоединён одним концом к общему узлу, а другой стороной контакта к остальной части схемы.

Преобразование в физике выполняют по строго установленным формулам.

Если его выполнить правильно, значения потенциалов в одноимённых точках треугольника и звёзды, а также подводящиеся к этим узлам токи, останутся одинаковыми. Это значит, что вся оставшаяся часть схемы «не заметит» выполненной замены.

Переход треугольник — звезда

Чтобы преобразовать треугольник в звезду, нужно применять особый подход. Закон Ома для такого случая применить невозможно, поэтому упрощения выполняют, руководствуясь правилами Киргофа. Их 2. Первое гласит, что в узле токи компенсируют друг друга, то есть их алгебраическая сумма равняется нулю. Второе же сообщает, что если сложить электродвижущую силу в любом замкнутом контуре цепи, она будет равна алгебраической сумме падений потенциала на импедансе этой части схемы.

В соответствии с этими законами, можно утверждать, что в узлах электрического заряда нет. Он не расходуется и не собирается. В количественном виде первое утверждение записывают так: I1 = I2 + I3, где с левой стороны стоит значение тока втекающего, а справа вытекающих. Второй закон описывается выражением: E1 — Е2 = -UR1 — UR2 или E1 = Е2 — UR1 — UR2.

Опираясь на эти правила, можно выполнить перевод схемы.

Сделать это удобно, руководствуясь следующим алгоритмом:

  1. Пусть имеется контур, образованный из резисторов Ra1, Rb1, Rc1, соединённых треугольником.
  2. Сумму всех сопротивлений можно обозначить символом RΔ. Её можно будет найти, сложив все импедансы: RΔ = Ra1 + Rb1 + Rc1.
  3. Для получения равенства с неизвестными нужно сделать перестановку в соотношении. Выражение примет вид: Ra2 + (RΔs)Rb2 + (RΔs)Rc2 = Ra1 * Rb1 + Rb1 * Rc1.
  4. Из эквивалентных уравнений можно вывести ещё 2 формулы, описывающие оставшиеся пары контактов. Беря во внимание симметрию, можно получить: Ra2 + (0)Rb2 + (RΔs)Rc2 = Ra1 * Rс1 + Rb1 * Rc1 и Ra2 + (RΔs)Rb2 + (0)Rc2 = Ra1 * Rc1 + Ra1 * Rb1.
  5. Нужно выполнить сложение последних двух уравнений, а после, отняв первое, получить равенство: 2 (RΔs) * Ra2 = 2 * Ra1 * Rc1. Отсюда: Ra2 = Ra1 * Rc1 / RΔs.
  6. По аналогии можно найти и оставшиеся эквиваленты: Rb2 = Ra1 * Rb1 / RΔs и Rc2 = Rc1 * Rb1 / RΔs.

Конечно же, при решении задачи о переводе из одного вида подключения в другое никто не расписывает промежуточные вычисления, а используют сразу конечную формулу: Rk = Rk1 * Rk2 / RΔs, где: Rk — сопротивление, подключённое к контакту в уже трансформированной схеме, а Rk1 и Rk2 — резисторы, стоящие в контуре типа треугольник.

Таким образом, сопротивление, соединённое с каждым узлом при переходе, можно найти из перемножения сопротивлений, подключённых к соответствующей точке в цепи, подключённой треугольником, и дальнейшему их делению на сумму всех резисторов в неизменном контуре.

Обратное преобразование

Чтобы получить нужную формулу, следует вести ряд обозначений. Токи, подходящие к узлам, можно обозначить как I1, I2, I3. Преобразование должно выполняться таким образом, чтобы при замене контура величины других токов и потенциалов не изменялись. Для этого следует выразить упорядоченное движение зарядов через напряжение точек и проводимость.

В соответствии с первым правилом Кирхгофа, можно записать: I1 + I2 + I3 = 0. Равенство можно изменить так: (f1 — f0) * p1 + (f2 — f0) * p1 + (f2 — f0) * p1 = 0, где: f — потенциал в точке. В выражении легко выполнить простые преобразования и найти f0. Оно будет равно: f0 = (f1p1 + f2p2 + f3p3) / (p1 + p2 + p3). Полученную формулу возможно использовать для вывода тока. Для I1 будет верным уравнение: I1 = (f1 — f0) * p1 = (f1 * (p2 + p3) — f2 * p2 — f3p3) * p / (p1 + p2 + p3).

Движение заряда удобно обозначать не буквами, а цифрами. Например, число 12 будет показывать, что рассматривается связь первого и второго узла. Таким образом, в треугольнике I1 = I12 — I31 = (f1 — f2) * p12 — (f3 — f1) * p13 = f1* (p12 + p13) — f3p13 -f 2p12.

Учитывая, что ток I1 в схеме треугольник и звезда одинаков, при этом величины потенциалов не влияют на его значение, коэффициенты, стоящие возле f в правой и левой части, будут равны. Тогда можно записать следующие равенства: p12 = p1 * p2 / (p1 + p2 + p3); p13 = p1 * p3 / (p1 + p2 + p3); p23 = p2 * p2 / (p1 + p2 + p3). Как раз по этим формулам и возможно рассчитать проводимость треугольника через звезду.

Зная проводимость, можно определить импеданс, так как это величина обратна сопротивлению. Вывод формулы будет иметь следующий вид: R12 = (1/r1 + 1/r2 + 1/r3) / 1/r1 * r2. Для дальнейших расчётов многочлен (1/r1 + 1/r2 + 1/r3) удобно заменить одной буквой, например, s. Тогда: R12 = s / r3; R23 = s / r1; R13 = s / r2. Подставив последние выражения в формулу для нахождения s, можно будет получить отношение: m = (r12 * r23 * r31) / (r12 + r23 + r31).

Формулы для нахождения эквивалента при переходе примут вид:

  • R1 = (r12 * r31) / y;
  • R2 = (r23 * r12) / y;
  • R3 = (r13 * r23) / y.

Где: y = r12 + r23 + r31. Полезность преобразования в треугольник позволяет привести схему к набору простых последовательных соединений. Подключение двигателей по этой схеме позволяет добиться наибольшей отдачи мощности, например, при модернизации промышленных электросетей.

Решение примера

При знании формул решение задач на преобразование треугольника в звезду или обратно обычно не доставляет проблем. Нужно просто внимательно следить за подставляемыми величинами. Но перед тем как приступить непосредственно к расчёту эквивалентной схемы, следует оценить необходимость выполнения такого действия. Некоторые элементы могут быть соединены последовательно или параллельно, поэтому нужно будет начать с простых преобразований, а уже позже переходить к звезде или треугольнику.

Вот пример задания. Имеется трёхфазная цепь. Посчитать её эквивалентное сопротивление. Известно, что схема подключена к источнику напряжения 220 вольт, сопротивление: R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом, R4 = 40 Ом, R5 = 50 Ом, R6 = 60 Ом, R7 = 70 Ом.

В этой схеме сопротивления R1 и R2 соединены последовательно. Что же касается остальных элементов, сказать, какой тип подключения у них по отношению друг к другу, нельзя. Но зато видно, что контур, состоящий из R5, R7, R4, является треугольником, то есть задача состоит в превращении его в эквивалентную трёхлучевую звезду.

Новые элементы можно обозначить как R57, R45, R47. Чтобы найти номиналы новых сопротивлений, нужно воспользоваться эквивалентными формулами. R57 = (R5 * R7) / R5 + R4 + R7 = 50 * 70 / 50 + 40 + 70 = 3500 / 160 = 21,8 Ом; R45 = (R4 * R5) / R5 + R4 + R7 = 40 * 50 / 50 + 40 + 70 = 2000 / 160 = 12,5 Ом; R47 = (R4 * R7) / R5 + R4 + R7 = 40 * 70 / 50 + 40 + 70 = 2800 / 160 = 17,5 Ом.

Теперь эквивалентный контур можно подставить в схему вместо треугольника. В результате цепь будет состоять из трёх последовательно соединённых резисторов R1, R2 и R45. Общий импеданс для них будет равен: Rx = R1 + R2 + R45 = 10 + 20 + 17,5 = 47,5 Ом. Аналогично можно вычислить параметр и для второго контура: Ry = R6 + R57 = 60 + 21,8 = 81,8 Ом. Останется найти сопротивление ветви, включающую R3 и R47, Rz = R3 + R47 = 30 + 17,5 = 47,5 Ом.

Теперь схема принимает довольно простой вид. Контур состоит из трёх включённых параллельно относительно друг друга резисторов Rx, Ry, Rz. Если использовать формулу нахождения эквивалента для такого типа включения, результирующее первое сопротивление будет равно: Rоб = Ry * Rz / (Ry + Rz) = 81,8 * 47,5 / (81,8 + 47,5) = 3885,5 / 129,3 = 30,05 Ом. Теперь схема уже стала одноконтурной и содержит соединение, которое будет называться последовательным.

Таким образом, эквивалентное сопротивление для схемы будет составлять: Rx + R об = 30,05 + 47,5 = 77,55 Ом. Задача решена.

Источник

Вычислить ток в диагонали моста r4 используя преобразование треугольника

Преобразования треугольник-звезда и звезда-треугольник

Во многих схемах можно встретить такие конфигурации компонентов, в которых невозможно выделить последовательные или параллельные цепи. К этим конфигурациям относятся соединения компонентов в виде звезды (Y) и треугольника (Δ):

analiz127

Очень часто, в ходе анализа электрических цепей, оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически, чаще возникает необходимость преобразования треугольника в звезду. Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. Иными словами, эквивалентные Δ и Y цепи ведут себя одинаково.

Существует несколько уравнений, используемых для преобразования одной цепи в другую:

analiz128

Δ и Y цепи очень часто встречаются в 3-фазных сетях переменного тока, но там они, как правило, сбалансированы (все резисторы равны по значению) и преобразование одной цепи в другую не требует таких сложных расчетов. Тогда возникает вопрос: где мы сможем использовать эти уравнения?

Читайте также:  Сопротивление вольтметра 12 000 ом какова сила тока если напряжение 12 в

Использовать их можно в несбалансированных мостовых схемах:

analiz129

Анализ данной схемы при помощи Метода Токов Ветвей или Метода Контурных Токов довольно сложен. Теорема Миллмана и Теорема Наложения здесь тоже не помощники, так как в схеме имеется только один источник питания. Можно было бы использовать теорему Тевенина или Нортона, выбрав в качестве нагрузки резистор R3, но и здесь у нас вряд ли что-нибудь получится.

Помочь в этой ситуации нам сможет преобразование треугольник — звезда. Итак, давайте выберем конфигурацию резисторов R1, R2 и R3, представляющих собой треугольник (Rab, Rac и Rbc соответственно), и преобразуем ее в звезду:

analiz130

После преобразования схема примет следующий вид:

analiz131

В результате преобразования у нас получилась простая последовательно-параллельная цепь. Если мы правильно выполним расчеты, то напряжения между точками А, В и С преобразованной схемы будут аналогичны напряжениям между этими же точками исходной схемы, и мы сможем вернуть их обратно.

analiz132

analiz133

Сопротивления резисторов R4 и R5 остаются неизменными: 18 и 12 Ом соответственно. Применив к схеме последовательно-параллельный анализ, мы получим следующие значения:

analiz134

Теперь, используя значения напряжений из приведенной выше таблицы, нам нужно рассчитать напряжения между точками А, В и С. Для этого мы применим обычную математическую операцию сложения (или вычитания для напряжения между точками В и С):

analiz135

analiz136

Переносим эти напряжения в исходную схему (между точками А, В и С):

analiz137

Напряжение на резисторах R4 и R5 останется таким же, каким оно было в преобразованной схеме.

К данному моменту у нас есть все необходимые данные для определения токов через резисторы (используем для этой цели Закон Ома I = U / R):

analiz138

Моделирование при помощи программы PSPICE подтвердит наши расчеты:

Источник



Анализ и решение задачи 2

1. Заменим по отношению к ветви с резистором R4 всю остальную схему эквивалентным генератором (активным двухполюсником) с ЭДС Eэ и внутренним сопротивлением r (рис. 1.33, а). ЭДС Eэ определяется по результатам расчета режима холостого хода генератора как напряжение между точками «а» и «с» схемы рис. 1.32 при разомкнутой ветви с резистором R4.

После размыкания ветви с R4 получается схема с двумя узлами рис. 1.33, б. Узловое напряжение

Ток в ветви с ЭДС E3

Для расчета напряжения между точками «а» и «с» в схеме рис. 1.33, б примем потенциал точки «а» равным нулю, тогда

2. Для расчета внутреннего сопротивления генератора в схеме рис. 1.33, б закорачиваются все ЭДС (рис. 1.33, в) и определяется сопротивление по отношению к точкам «а» и «с»:

3. Ток в ветви с резистором R4 (схема рис. 1.33, а)

Дополнительные вопросы к задаче 2

1. Как экспериментально определить параметры эквивалентного генератора?

Исходя из эквивалентности схем рис. 1.32, а и рис. 1.33, а, Eэ и r можно рассчитать по результатам двух опытов. Разомкнув ветвь с R4, измеряем напряжение между точками «с» и «а» Uxx, равное ЭДС Eэ, (опыт холостого хода). Для определения r проводится (если это допустимо) опыт короткого замыкания: заданная ветвь замыкается накоротко и измеряется ток в ней (Iк). При этом r = Eэ / Iк.

2. Выбрать величину сопротивления резистора R4 так, чтобы в нем выделялась максимально возможная мощность.

Для схемы рис. 1.33, а . Максимум мощности Р4 определяется решением уравнения : Rн.экстр = r, при этом Вт. Режим, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника, называется согласованным, он часто используется в маломощных электронных устройствах, когда КПД установки (@ 50 %) не имеет существенного значения, но важно передать в нагрузку максимальную мощность (усилители напряжения, маломощные усилители мощности, линии связи и т.д.). При этом все устройство по отношению к нагрузке представляется в виде эквивалентного генератора, параметры которого определяются по результатам анализа работы и расчета устройства.

Практическое занятие №3
Самостоятельная работа студента

В процессе выполнения самостоятельной работы студент должен решить нижеприведенные задачи, используя результаты первого и второго практических занятий. Отчет о проделанной работе должен быть представлен преподавателю по форме, указанной в методических указаниях. В отчете привести ответы на вопросы, приведенные в первом и втором практических занятиях и решения нижеприведенных задач.

Задача 1. В схеме (рис. 1.34) R1 = R3 = 40 Ом, R2 = 20 Ом, R4 = 30 Ом, I3 = 5 А. Вычислить напряжение источника U и ток I4. Ответ: 900 В; 6,67 А.

Задача 2. В схеме (рис. 1.34) напряжение U = 65 В, напряжение на зажимах резистора R4 равно 20 В. Определить все токи в схеме, если R2 = 15 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 30 Ом. Ответ: I1 = I2 = 2 А; I3 = 1,5 А; I4 = 0,5 А.

Задача 3. В схеме (рис. 1.35) – R1 = 10 Ом, R2 = 5 Ом, R3 = 10 Ом, I3 = 2 А. Найти напряжение источника U. Ответ: 80 В.

Задача 4. К схеме (рис. 1.35) приложено напряжение U = 45 В, при этом ток источника I1 = 1,25 А. Сопротивления ветвей параллельной части схемы равны: R2 = 40 Ом, R3 = 10 Ом. Найти R1 и токи I2, I3. Ответ: R1 = 28 Ом, I2 = 0,25 А, I3=1 А.

Задача 5. В схеме (рис. 1.36) – R1 = 50 Ом, ток источника I = 0,6 А, ток в резисторе R3 равен I3 = 0,4 А, мощность, расходуемая в резисторе R4: P4 = 0,4 Вт; напряжение на резисторе R2: U2 = 36 В. Определить напряжение источника U. Ответ: U = 68 В.

Задача 6. Мощности, расходуемые в сопротивлениях схемы (рис. 1.36): P1 = 15 Вт, P2 = 20 Вт, P3 = 10,8 Вт, P4 = 7,2 Вт. Определить напряжения на участках схемы и токи в ее ветвях, если приложенное к ней напряжение U = 106 Вт. Ответ: I = 0,5 А; I3 = 0,3 А; I4 = 0,2 А; U1 = 30 В; U2 = 40 В; U = 36 В.

Задача 7. Для схемы (рис. 1.37) дано: R1 = 2 Ом, R2 = 4 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 60 Ом, R5 = 22 Ом, R6 = 5 Ом, E = 12 В. Вычислить ток в диагонали моста R4, используя преобразование треугольника резисторов R2, R3, R4 в эквивалентную звезду. Ответ: I4 = 0,077 А.

Задача 8. В схеме (рис. 1.37) определить ток источника, используя преобразование звезды резисторов R2, R4, R5 в эквивалентный треугольник, если R2 = 6 Ом, R3 = 42 Ом, R4 = 12 Ом, R5 = 24 Ом, R6 = 28 Ом, I3 = 0,5 А. Ответ: I = 2,75 А.

Задача 9. Для схемы (рис. 1.38) входные напряжения: U1 = +10 В, U2 = -15 В, U3 = +20 В, R1 = R2 = R3 = 500 Ом, Rн = 1000 Ом. Методом узлового напряжения определить выходное напряжение Uвых. Ответ: Uвых = 4,3 В.

Задача 10. В схеме (рис. 1.39) E1 = 120 В, E5 = 140 В, R1 = 70 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 135 Ом, R4 = 210 Ом, R5 = 140 Ом. Определить методом эквивалентного генератора величину и направление тока в резисторе R3. Ответ: I3 = 0,2 А.

Источник

№7 Эквивалентное преобразование треугольника и звезды сопротивлений.

Пусть требуется рассчитать цепь, показанную на рис. 7.1, а.

Рис. 7.1 — Преобразования электрической цепи

Расчет можно осуществить одним из описанных выше методов. Но так как в цепи имеется только один источник питания, наиболее простым было бы использование закона Ома. Однако попытка определения общего сопротивления цепи оказывается безрезультатной, так как здесь мы не находим ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений. Решить задачу помогает преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.

Треугольник и звезда сопротивлений имеют вид, показанный на рис. 7.2.

Рис. 7.2 — Треугольник и звезда сопротивлений

Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. В этом случае говорят, что схемы эквивалентны.

Можно показать, что условием эквивалентности являются следующие уравнения:

а) при преобразовании треугольника в звезду:

б) при преобразовании звузды в треугольник:

Например, сопротивление звезды R1, присоединенное к узлу 1, получается перемножением сопротивлений R12 и R31 треугольника, присоединенных к этому же узлу, и делением полученного произведения на сумму всех сопротивлений треугольника.

При обратном преобразовании сопротивление треугольника R12, лежащее между узлами 1 и 2, равно сумме сопротивлений звезды R1 и R2, присоединенных к этим узлам, плюс их произведение, деленное на сопротивление третьего луча звезды R3.

Пример 1.3. Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 1.12, а, при следующих числовых значениях ее параметров: Е = 660 В, R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 20 Ом, R5 = 50 Ом.

а) Решение преобразованием треугольника в звезду.

Теперь общее сопротивление цепи легко находится:

Ток, протекающий по источнику (одинаковый в заданной и преобразованной схемах), равен:

Токи в паралельных ветвях:

Возвращаемся к исходной схеме (рис. 7.1, а):

Ток в пятой ветви находим из первого закона Кирхгофа: I5 = I1–I3 = 26–28 = –2 A. Знак минус говорит о том, что действительное направление тока I5 противоположно указанному на схеме.

б) Решение преобразованием звезды в треугольник.

Преобразуем звезду, образуемую в схеме на рис. 7.1, а сопротивлениями R1, R5 и R3, в эквивалентный треугольник (рис. 7.1, в).

Определяем сопротивления треугольника:

Теперь рассчитываем преобразованную цепь. Сначала находим эквивалентные сопротивления участков ac и cd:

Затем определяем общее сопротивление и токи:

Возвращаемся к исходной схеме:

Рекомендуем подставить в приведенные формулы числовые значения параметров цепи и сравнить результаты вычислений с полученными в примере 1.3а.

Источник