Меню

Закон био савара лапласа для кругового тока вывод

Закон Био — Савара — Лапласа. Магнитное поле прямого, кругового и соленоидального токов.

Значение магнитной индукции для любого проводника определяется законом Био — Савара — Лапласа.

-в векторной форме, (15.6)

— в скалярной форме. (15.7)

Вектор всегда перпендикулярен плоскости, построенной на векторах и . С помощью закона Био — Савара — Лапласа рассчитаем магнитную индукцию поля прямого, кругового и соленоидального токов.

Вывод формулы напряжённости магнитного поля прямого тока (рис. 15.9; рис. 15.10) .

Применим формулу для вычисления полей простейших токов. Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (Рис. 15.9) .Все dBв данной точке имеют одинаковое направление. Поэтому сложение векторов dBможно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии b от провода. Из рисунка 15.9 видно, что:

Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:

.

Угол для всех элементов бесконечно прямого тока изменяется в пределах от 0 до . Следовательно:

.

Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой: . (15.8 )

Для того, чтобы получить напряженность магнитного поля, необходимо разделить правую часть формулы (15.8) на :

. (15.9)

Вывод формулы напряжённости магнитного поля кругового тока (рис. 15.11).

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности (круговой ток). Определим магнитную индукцию кругового тока

Рассмотрим индукции , создаваемых двумя элементами контура dl1 и dl2. Т. к. угол между r и dl равен 90°, то sin 90°=1.

Закон Био — Савара — Лапласа для двух элементов:

Выбрав dl1=dl2 и принимая, что r1=r2, получим:

Проинтегрируем это выражение по всему контуру и заменим r на получим:

(15.10)

В частности, при x=0 имеем:

(15.11)

магнитная индукция в центре кругового тока

Напряженность магнитного поля в центре кругового тока равна:

(15.12)

Формула для расчета напряженности магнитного поля кругового тока на его оси принимает вид:

(15.13)

Вывод формулы напряжённости магнитного поля соленоидального тока.

Соленоид представляет собой тонкий провод, навитый плотно, виток к витку, на цилиндрический каркас. В отношении создаваемого им поля соленоид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей прямой осью. Бесконечно длинный соленоид симметричен относительно любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, магнитная индукция которого перпендикулярна к плоскости. Следовательно, в любой точке внутри и вне соленоида вектор может иметь лишь направление, параллельное оси.

Возьмем прямоугольный контур 1-2-3-4. Циркуляцию вектора по этому контуру можно представить следующим образом:

Из четырех интегралов, стоящих в правой части, второй и четвертый равны нулю, так как вектор перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся.

Взяв участок 3-4 на большом расстоянии от соленоида(где поле заведомо должно быть очень слабым), третьим слагаемым можно пренебречь. Следовательно, можно утверждать, что :

Здесь В — магнитная индукция поля в тех точках, где располагается отрезок 1-2, -длина этого отрезка.

Если отрезок 1-2 проходит внутри соленоида на любом расстоянии от его оси, контур охватывает суммарный ток , где — число витков соленоида, приходящееся на единицу его длинны, — сила тока в соленоиде. Поэтому согласно :

Откуда: (15.14)

а напряженность магнитного поля соленоидального тока равна:

(15.15)

Отметим, что полученный нами результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) располагается отрезок 1-2. Если этот отрезок располагается вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, вследствие чего:

.

Откуда В=0. Таким образом, вне бесконечного длинного соленоида магнитная индукция равна нулю, внутри — всюду одинакова и имеет величину, определяемую формулой (15.14). По этой причине в учении о магнетизме бесконечно длинный соленоид играет такую же роль, как плоский конденсатор в учении об электричестве. В обоих случаях поле однородно и полностью заключено внутри конденсатора (электрическое) и внутри соленоида(магнитное).

Читайте также:  При каком напряжение по проводнику проходит ток

Произведение называется числом ампер — витков на метр.

Тесты к лекции №15

Тест 15.1.Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком бесконечно тонкого прямолинейного проводника, вычисляется по формуле…

£

£

£

£

Тест 15.2.Магнитная индукция в центре кругового тока определяется по формуле…

£

£

£

£

Тест 15.3.Форма существования материи, обладающая свойством передавать магнитное взаимодействие.

Тест 15.4.Дайте определение пробного контура.

£ контур, вносящий помехи в исходное поле.

£ контур, усиливающий исходное поле.

£ контур, ослабляющий исходное поле.

£ контур, который не создает заметных искажений исходного поля.

Тест 15.5.Формула выражает:

£ вектор магнитной индукции

£ напряженность магнитного поля

Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток. Сила Ампера. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Сила Лоренца. Определение удельного заряда электрона[11]

16.1. Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток

16.2. Сила Ампера

16.3. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

16.4. Сила Лоренца

16.5. Определение удельного заряда электрона

Источник

Закон Био-Савара. Теорема о циркуляции

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Жан Батист Био и Феликсом Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции:

Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

Индукцию проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций создаваемых отдельными участками проводника. На опыте невозможно выделить отдельный участок проводника с током, так как постоянные токи всегда замкнуты. Можно измерить только суммарную индукцию магнитного поля, создаваемого всеми элементами тока. Закон Био–Савара определяет вклад в магнитную индукцию результирующего магнитного поля, создаваемый малым участком Δl проводника с током I.

Здесь r – расстояние от данного участка Δl до точки наблюдения, α – угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ – магнитная постоянная. Направление вектора определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока. Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон Био–Савара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

которая уже приводилась в 1.16.

Иллюстрация закона Био–Савара

Закон Био–Савара позволяет рассчитывать магнитные поля токов различных конфигураций. Нетрудно, например, выполнить расчет магнитного поля в центре кругового витка с током. Этот расчет приводит к формуле

где R – радиус кругового проводника. Для определения направления вектора также можно использовать правило буравчика, только теперь его рукоятку нужно вращать в направлении кругового тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

Расчеты магнитного поля часто упрощаются при учете симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае можно пользоваться теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, которая в теории магнитного поля токов играет ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике.

Поясним понятие циркуляции вектора Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δl этого контура можно определить касательную составляющую вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2).

Читайте также:  Внутреннее сопротивление источника не зависит от силы тока

Замкнутый контур (L) с заданным направлением обхода. Изображены токи I1, I2 и I3, создающие магнитное поле

Циркуляцией вектора называют сумму произведений Δl, взятую по всему контуру L:

Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур L в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура.

Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора магнитного поля постоянных токов по любому контуру L всегда равна произведению магнитной постоянной μ на сумму всех токов, пронизывающих контур:

В качестве примера на рис. 1.17.2 изображены несколько проводников с токами, создающими магнитное поле. Токи I2 и I3 пронизывают контур L в противоположных направлениях, им должны быть приписаны разные знаки – положительными считаются токи, которые связаны с выбранным направлением обхода контура правилом правого винта (буравчика). Следовательно, I3 > 0, а I2 Опубликовано в разделах: Электродинамика, Магнитное поле

Источник



9.2. Закон Био-Савара- Лапласа и его применение к расчету полей прямого и кругового токов.

Направление вектора dB определяется правилом правого винта, которое заключается в

следующем: буравчик с правым винтом (штопор) нужно вращать от вектора dl к вектору r по

кратчайшему пути, тогда на правление движения острия бу равчика rпокажет ориентацию вектора dB .

Магнитное поле прямого тока

Рассчитаем, используя закон Био-Савара-Лапласа, магнит ное поле, создаваемое бесконечным прямым проводником с то ком, в точке М, отстоящей на расстоянии а от проводника.

Выделим элемент проводника dl. Пусть элемент dl виден из точки М под малым углом dα. Положение точки М относительно элемента dl определяется вектором r. Из

рис. видно, что выполняются следующие соотношения

Используя закон Био-Савара-Лапласа, запишем индукцию магнитного поля, создаваемого элементом тока dl в точке М

Для того, чтобы найти индукцию магнитного поля, создаваемого всем проводом, нужно, используя принцип суперпозиции, найти сумму векторов dBi от всех элементов dli.

В случае бесконечного прямого тока α1=0 и α2=π, тогда

В общем случае индукция магнитного поля, создаваемого прямым проводником с ток конечной длины равна

Магнитное поле на оси кругового витка с током.

Возьмем на оси кругового витка точку А, отстоящую от плоскости витка на расстоянии х. Выберем ось х вдоль оси витка. Выделим на витке с током элемент тока dl. Оче видно, что при суммировании векторов dB от всех элементов витка горизонтальные составляющие векторов dB взаимно компенсируются, а вертикальные составляющие (dBx) складываются скалярно. Тогда индукция магнитного поля в точке А будет

здесь S − длина витка, R − его радиус.

Согласно закону Био-Савара-Лапласа

(угол между векторами r и dl равен π/2).

10.1. Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора магнитной индукции).

В случае нескольких токов вrсилу принципа суперпозиции

применение к расчету полей соленоида

10.2. Применение к расчету поля соленоида.

Рассмотрим бесконечно длинный соленоид по которому течет ток I и который имеет n витков на единицу длины. Выберем прямоугольный контур интегрирования 1-2-3-4. Сторона 1-2 совпадает с осью соленоида, а 3-4 удалена на очень большое расстояние от оси. В силу симметрии вектор B внутри соленоида дол жен быть параллелен его оси, т.е. Внутри соленоида магнитное поле должно быть однородно.

Последний интеграл в правой части равен нулю, т.к. На большом расстоянии от соленоида В=0. Второй и третий интегралы в правой части также равны нулю, т.к. для каждого элемента dl выполняется условие B ⊥ dl , а на участке 1-2, очевидно, B параллелен dl r. Тогда

, где l − длина участка 1-2.

С другой стороны, полученное выражение должно быть пропорционально сумме токов, охватываемых контуром 1-2-3-4. Рассматриваемый контур охватывает nl витков, в

Читайте также:  Лечение с помощью токов

каждом из которых течет ток I, тогда

10.3. Поле тороида.

Пусть мы имеем тороид (”бублик”) с плотно намотанными на него N витками тонкого провода с током I. Пусть R1 и R2 − внешний и внутренний радиусы то роида. Найдем индукцию магнитного поля на средней линии тороида, т.е. на окружности радиуса r=(R1+R2)/2.

В качестве контура интегрирования L выберем саму среднюю линию. В силу симметрии вектор индукции магнитного поля B в каждой точке контура L должен быть направлен по касательной к этому контуру и быть постоянным по модулю. Выбранный нами контур охватывает все N витков.

Источник

Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

date image2014-02-09
views image26564

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Магнитное поле постоянных токов различ­ной формы изучалось французскими уче­ными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791 —1841). Результаты этих опытов бы­ли обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент которого dlсоздает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля dB, записывается в виде

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r — радиус-вектор,

проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-векто­ра г. Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в ко­торой они лежат, и совпадает с каса­тельной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по пра­вилу нахождения линий магнитной индук­ции (правилу правого винта): направле­ние вращения головки винта дает направ­ление dB, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется вы­ражением:

где а — угол между векторами dl и г.

Для магнитного поля, как и для элек­трического, справедлив принцип суперпо­зиции: магнитная индукция результирую­щего поля, создаваемого несколькими то­ками или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каж­дым током или движущимся зарядом в от­дельности:

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в об­щем случае довольно сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принци­пом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рас­смотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому про-

воду бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы dB от всех элементов тока имеют одина­ковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве по­стоянной интегрирования выберем угол а (угол между векторами dl и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости dlравен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что маг­нитная индукция, создаваемая одним эле­ментом проводника, равна

Так как угол а для всех элементов прямо­го тока изменяется в пределах от 0 до я, то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как следу­ет из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали от витка.

Поэтому сложе­ние векторов dB можно заменить сложени­ем их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina=1) и расстояние всех эле­ментов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

Источник