Закон напряжение деформация примеры

Зависимость между напряжением и дефрмацией. Закон Гука. Испытнае материалов при растяжении

2.2. Напряжения и деформации

При растяжении стержня его длина увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются (рис. 2.2). Изменение длины называется абсолютной продольной деформацией, а изменения поперечных размеров и – абсолютными поперечными деформациями. По этим величинам вычисляют относительную продольную деформацию и относительную поперечную деформацию .

Опытами установлено, что отношение остаётся постоянным для каждого материала и находится в интервале 0. 0,5.

Параметр называется коэффициентом Пуассона.

Рис. 2.2. Деформации растянутого стержня

В поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, которые, согласно гипотезе плоских поперечных сечений, равномерно распределены по всей площади сечения (рис. 2.3, а) и равны отношению продольной силы к площади поперечного сечения

Между нормальными напряжениями и относительной продольной деформацией существует зависимость, называемая законом Гука:

в которой коэффициент пропорциональности Е называется модулем упругости. Модуль упругости определяется опытным путем и является важной характеристикой материала. Единицы измерения модуля упругости совпадают с единицами измерения напряжений (МПа, кН/см 2 ).

Абсолютную продольную деформацию вычисляют по формуле

где произведение ЕА называется жёсткостью при растяжении (сжатии).

Рис. 2.3. Нормальные напряжения в сечениях стержня:
а – в поперечном; б – в наклонном

Анализ напряженного состояния показывает, что в поперечных сечениях стержня действуют только нормальные напряжения, в продольных сечениях нет никаких напряжений, а в наклонных сечениях возникают нормальные и касательные напряжения. Наибольшие касательные напряжения равны половине нормальных напряжений в поперечном сечении и действуют на площадках, наклоненных под углом 45° к продольной оси стержня (рис. 2.3, б).

Различие в способах приложения внешних сил к стержню сказывается на распределении деформаций и напряжений только на сравнительно коротких участках стержня вблизи места приложения сил (рис. 2.4).
В этом заключается принцип Сен-Венана, подтверждаемый опытами.

Рис. 2.4. На левом участке стержня распределение напряжений
не зависит от способа приложения нагрузки

2.3. Испытания материалов на растяжение и сжатие

Для определения характеристик конструкционных материалов на специальных машинах и установках проводят испытания образцов, изготовленных из различных материалов. Форма, размеры образцов, порядок испытаний регламентируются техническими условиями для возможности сопоставления полученных результатов. В процессе испытаний фиксируются величины растягивающих или сжимающих сил, продольных деформаций, автоматически вычерчиваются диаграммы зависимости между деформациями образцов и усилиями в образцах . От полученных диаграмм переходят к диаграммам напряжений, на которых по оси абсцисс откладывают относительную продольную деформацию образца , а по оси ординат – нормальное напряжение . Вид таких диаграмм показан на рис. 2.5.

На диаграмме напряжений пластичной стали (рис. 2.6) можно отметить несколько точек, которые соответствуют механическим характеристикам прочности материала. Предел пропорциональности – наибольшее напряжение, при котором ещё справедлив закон Гука. Предел упругости – напряжение, при котором относительная продольная остаточная деформация имеет малую величину (0,02. 0,05 %). Предел текучести – напряжение, при котором деформации возрастают без увеличения усилия в образце. Если площадка текучести (горизонтальный участок на диаграмме напряжений) отсутствует или выражена неявно, то определяют условный предел текучести σ_0,2 – напряжение, при котором остаточная деформация равна 0,2 %. Временное сопротивление (предел прочности) – напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке на образец. Тангенс угла наклона прямолинейного участка ОА на диаграмме напряжений (рис. 2.6) равен модулю упругости материала.

Пусть некоторой точке L на диаграмме растяжения (рис. 2.7) соответствует усилие в стержне F и удлинение образца Δl. При разгрузке образца график будет изображаться прямой LL₁, проходящей параллельно начальному участку диаграммы ОА. Отрезок OL₁ равен остаточной деформации , а отрезок L₁L₂ равен упругой деформации . Полная деформация, соответствующая точке L, получается как сумма


Рис. 2.6. Диаграмма напряжений пластичной стали	Рис. 2.7. Диаграмма растяжения при повторном нагружении

При повторном нагружении образца диаграмма, показанная на рис. 2.7 пунктиром, будет вначале изображаться слабо искривленной линией L₁L, а после достижения точки L пойдет так, как будто не было разгрузки и повторного нагружения. Криволинейность участка L₁L вызывается необратимыми потерями энергии деформации, а сама кривая L₁L называется петлей гистерезиса. Во многих случаях искривленностью участка L₁L пренебрегают и считают его прямолинейным.

Разрыву образца соответствует точка М. Полная деформация Δl Р , предшествующая разрыву, изображается отрезком ОМ₂, а после разрушения образца можно измерить остаточную деформацию , равную отрезку ОМ₁.

Диаграмма напряжений при разгрузке и повторном нагружении имеет аналогичный вид (рис. 2.8). После нагружения образца выше площадки текучести, разгрузки и при повторном нагружении изменяются некоторые свойства материала:

 повышается предел пропорциональности (от величины до величины );

 исчезает площадка текучести;

 уменьшается деформация, предшествующая разрушению (отрезок L₁M₂ вместо отрезка ОМ₂), поэтому материал становится менее пластичным.

Указанные изменения свойств называются наклепом.

Наклеп может быть полезен, например, для уменьшения деформаций тросов и цепей грузоподъемных машин, или вреден, например, при динамических нагрузках.

Рис. 2.8. Диаграмма напряжений при повторном нагружении

Перед испытанием образца измеряют его расчетную длину L и размеры поперечного сечения, по которым находят начальную площадь поперечного сечения А.

После разрыва образца измеряют новую длину L₁ и новые размеры поперечного сечения в месте разрыва для вычисления площади поперечного сечения А₁.

Вычисляют характеристики пластичности материала:

 относительное остаточное удлинение ;

 относительное остаточное сужение .

Для испытания на сжатие изготовляют стальные и чугунные цилиндрические образцы (рис. 2.9) диаметром d = 6…25 мм. Отношение L / d = 1…2. Диаграмма сжатия стального образца (рис. 2.10, а) начинается с прямолинейного участка ОА, затем график искривляется, площадка текучести явно не выражается даже для пластичной стали. При испытаниях определяют усилия F_П и F_Т, по которым вычисляют предел пропорциональности _П = F_П/А и предел текучести _Т = F_Т/А. Если площадка текучести выражена неявно, то определяют условный предел текучести _0,2 как напряжение, соответствующее остаточной деформации ε = 0,2 %. Величины предела пропорциональности и предела текучести стали при сжатии оказываются близкими к их значениям при растяжении. Стальной образец при сжатии сплющивается, не разрушаясь.

Предел прочности стали при сжатии не определяется и условно принимается равным пределу прочности при растяжении.

Диаграмма сжатия чугунного образца не имеет ярко выраженного прямолинейного участка и, постепенно искривляясь, обрывается в момент разрушения образца (рис. 2.10, б).

Рис. 2.10. Диаграммы сжатия образцов: а – стального; б – чугунного

Источник

§ 9.3. Механические свойства твердых тел. Диаграмма растяжения

В этом параграфе мы рассмотрим механические свойства твердых тел на примере исследования деформации растяжения, так как обычно испытание материалов проводят именно на растяжение и сжатие. Для этого нам необходимо ввести еще одно важное понятие.

Напряжение

В любом сечении деформируемого тела действуют силы упругости, препятствующие разрыву тела на части (рис. 9.15). Деформированное тело находится в напряженном состоянии, которое характеризуется особой величиной, называемой механическим напряжением или короче — напряжением.

Напряжение — величина, равная отношению модуля силы упругости к площади поперечного сечения(1) тела:

где σ — напряжение, F_ynp — модуль силы упругости и S — площадь поперечного сечения.

В СИ за единицу напряжения принимается паскаль (Па):

Заметим, что в формуле (9.3.1) иногда удобно модуль силы упругости заменить на модуль F внешней деформирующей силы, уравновешивающей силу упругости.

Диаграмма растяжения

Для исследования деформации растяжения стержень из исследуемого материала при помощи специальных устройств (например, с помощью гидравлического пресса) подвергают растяжению и измеряют удлинение образца и возникающее в нем напряжение. По результатам опытов вычерчивают график зависимости напряжения с от относительного удлинения е. Этот график называют диаграммой растяжения (рис. 9.16).

Закон Гука

Многочисленные опыты показывают, что при малых деформациях напряжение а прямо пропорционально относительному удлинению ε (участок ОА диаграммы). Эта зависимость называется законом Гука. Его можно записать так:

Относительное удлинение в формуле (9.3.2) взято по модулю, так как закон Гука справедлив как для деформации растяжения, так и для деформации сжатия, когда ε

Закон Гука для деформации сдвига

При деформации сдвига сила направлена по касательной к плоскости верхней грани тела (см. рис. 9.8J. Эта сила уравновешивается возникающей силой упругости: = — _упр Отношение модуля силы упругости, возникающей при деформации сдвига, к площади верхней грани называется касательным напряжением и обозначается буквой τ:

Опыт показывает, что касательное напряжение х при малых деформациях прямо пропорционально углу сдвига а. Это и есть закон Гука для деформации сдвига. Он записывается так:

Коэффициент у называется модулем сдвига. Он численно равен касательному напряжению при угле сдвига в 1 рад. Очевидно, что для абсолютного большинства реальных материалов такое напряжение нельзя приложить к реальным телам, не разрушая их.

В СИ единицей модуля сдвига является 1 Па/рад.

Наиболее полную информацию об упругих свойствах материалов дает диаграмма растяжения, получаемая экспериментально. При малых деформациях напряжение в твердом теле прямо пропорционально относительной деформации (закон Гуна).

(1) Сечение тела производится плоскостью, перпендикулярной направлению силы упругости. При этом предполагается, что деформация тела во всех участках сечения одинакова.

Источник