Распределение касательных напряжений при кручении
Рассмотрим консольный брус круглого поперечного сечения, нагруженный парой сил с моментом m, плоскость действия которого ортогональна оси бруса (рис. 5.1, а). Применяя метод сечений, устанавливаем, что в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент (рис. 5.1, б).
Выделим элемент бруса длиной dz, рис. 5.3
Пусть радиус вала равен r. Выделим внутри вала цилиндр с радиусом основания ρ aA и внутреннего – bB. При кручении aA повернется на угол γ и займет положение aA‘, bB займет положение bB‘, повернувшись на угол γ ρ. Выразим углы поворота γ, γ ρ через угол закрутки поперечного сечения dφ. Имеем
С другой стороны, из геометрии поперечного сечения для дуг AA‘ и BB‘ выполняется
С учетом того, что aA = bB = dz, получаем
Так как кручение бруса есть взаимный сдвиг поперечных сечений, то, согласно закону Гука, при сдвиге касательное напряжение τ выразится через γ следующим образом:
При ρ = 0 τ ρ = 0, при ρ = ρ max = r имеем τ ρ = τ max.
Таким образом, касательное напряжение пропорционально расстоянию по радиусу от центра поперечного сечения вала и достигает максимального значения на его внешней поверхности. Распределение напряжений можно представить треугольной эпюрой, рис. 5.4.
5.2 Связь между касательным напряжением
и внутренним крутящим моментом
Найдем связь между касательным напряжением τ и крутящим моментом. Для этого воспользуемся методом сечений, рис. 5.5. Рассмотрим поперечное сечение вала на расстоянии z от заделки.
Рассмотрим равновесие отсеченной части. На элементарной площадке dA на расстоянии ρ от центра действует сдвиговое (касательное) напряжение τ ρ. Элементарная сила, действующая на площадке dA
Элементарный момент силы dQ относительно оси z
.
Суммарный момент, собираемый с площади A, будет
Подставляя сюда выражение τ ρ из (5.1), получим
Здесь 
— полярный момент инерции сечения. Значит
.
Из условия равновесия отсеченной части M = M кр. Следовательно,
. (5.2)
Из закона Гука при сдвиге (5.1) имеем
Отсюда получаем искомое соотношение между касательным напряжением и крутящим моментом
. (5.3)
Максимальное значение касательного напряжения по радиусу вала будет
Здесь W ρ – полярный момент сопротивления
Источник
Закон распределения касательного напряжения при кручении
      Д ля образца круглого поперечного сечения имеет место следующая геометрическая зависимость между углом закручивания и наибольшим углом сдвига у поверхности образца:
  где — диаметр и длина расчётной части образца, на которой измеряется угол закручивания.
Деформированное состояние расчётной части образца при кручении
      К асательные напряжения в образце круглого поперечного сечения в пределах упругости распределяются по линейной зависимости. Наибольшие касательные напряжения при кручении образца круглого поперечного сечения возникают в точках у внешней цилиндрической поверхности и в пределах применимости закона Гука вычисляются по формуле:
  где — крутящий момент, — полярный момент сопротивления круглого сечения.
      П ри кручении образца за пределом применимости закона Гука,касательные напряжения распределяются нелинейно.
Распределение касательных напряжений в поперечном сечении образца за пределом упругости
      З акон распределения касательных напряжений в этом случае устанавливается в теории пластичности. наибольшие касательные напряжения при кручении сплошных цилиндрических образцов вычисляются по формуле Людвига-Кармана :
Источник