Меню

Зависимость тока от частоты в последовательном контуре

Последовательный контур

Вынужденные колебания в последовательном контуре

Если элементы контура, по отношению к действующей в нем э. д. с. включены последовательно, то такой контур называется контуром с последовательно подключенными элементами или последовательным контуром ( рис. 99, а ).

Из курса электротехники известно, что в последовательной цепи, содержащей индуктивность L, емкость С и активное сопротивление R, при равенстве реактивных сопротивлений (X L = Х C ) имеет место резонанс напряжений. Резонанс в последовательном контуре получается в том случае, когда частота э. д. с. совпадает с частотой свободных колебаний в контуре.

Рис. 99. Вынужденные колебания в контуре с последовательно включенными элементами: а — схема включения; б — векторная диаграмма (резонанс в контуре); в — зависимость сопротивления и тока в контуре от частоты.

В общем случае ток в контуре определяется виражением

При резонансе (когда XL = ХС)

Таким образом, последовательный контур при резонансе, когда ƒ= ƒ 0 , имеет минимальное сопротивление, равное активному сопротивлению контура, и э. д. с, приложенная к контуру, преодолевает только его, а ток в контуре максимален.

Сказанное иллюстрируют векторная диаграмма и графики, изображенные соответственно на рис. 99,6 и в . На радиочастотах (на частотах выше 100 кгц) ω 0 L и 1/ω 0 С>> R, поэтому, как видно из векторной диаграммы ( рис. 99,б ), напряжения на конденсаторе U c и на индуктивности U L оказываюгся гораздо большими, чем питающая контур э. д. с. Е. Если числитель и знаменатель в выражении (148) умножить на I рез , то

Добротность последовательного контура показывает, во сколько раз возрастает напряжение на его элементах при резонансе, по сравнению с приложенной к контуру э. д. с. Зависимость тока в последовательном контуре от частоты называется резонансной кривой контура ( рис. 100 ).

Аналитическое выражение резонансной кривой контура имеет вид

где I — ток в контуре; ƒ — частота приложенной э. д. С; ƒ — ƒ 0 = Δƒ — расстройка контура относительно частоты э. д. с; I рез = E/R -ток в контуре при резонансе.

Рис. 100. Резонансная кривая последовательного контура.

На основе формулы (152) можно прийти к заключению, что чем меньше добротность контура и чем выше его резонансная частота, тем шире резонансная кривая. В практических условиях входной сигнал, поступающий на контур, обычно имеет сложный частотный состав. Контур должен пропустить целый спектр или полосу частот, сохранив при этом необходимые соотношения между отдельными составляющими сложного сигнала. Полосой пропускания П контура называется область частот, заключенная между ординатами резонансной кривой, равными 0,707 I рез (I рез /√2).

Из уравнения резонансной кривой (152) следуют очевидные равенства

При необходимости определить полосу пропускания, соответствующую любой другой ординате, можно воспользоваться формулой

где А — величина, численно равная отношению I/I рез при котором определяется полоса пропускания.

К колебательному контуру предъявляются два противоположных требования: с одной стороны, он должен, по возможности, равномерно пропускать спектр (полосу) частот, а с другой стороны — исключить возможность прохождения через контур посторонних сигналов, не входящих в состав полезного входного сигнала, но вместе с тем незначительно отличающихся по частоте от крайних его частот. Одновременно удовлетворить эти требования лучше всего мог бы идеальный контур с прямоугольной резонансной кривой.

Для оценки колебательного контура с точки зрения формы его резонансной кривой введено понятие о коэффициенте прямоувольности резонансной кривой К п , который представляет собой отношение полосы пропускания контура при значении ординаты 0,1 I рез к полосе пропускания, соответствующей ординате 0,707 I рез ,

На частотах выше резонансной реактивное сопротивление индуктивности больше, чем сопротивление емкости, поэтому полное сопротивление последовательного контура, равное

имеет индуктивный характер.

Рассуждая аналогичным образом, нетрудно убедиться, что на частотах ниже резонансной Х С > X L и сопротивление последовательного контура имеет емкостный характер.

Источник

Резонанс напряжений в последовательном колебательном контуре

В радиотехнике широкое применение имеют электрические цепи, составленные из катушки индуктивности и конденсатора. Такие цепи в радиотехнике называются колебательными контурами. Источник переменного тока к колебательному контуру может быть присоединен двумя способами: последовательно (рисунок 1а) и параллельно (рисунок 1б).

Последовательный и параллельный колебательные контура

Рисунок 1. Схемотическое обозначение колебательного контура. а) последовательный колебательный контур; б) параллельный колебательный контур.

Рассмотрим поведение колебательного контура в цепи переменного тока при последовательном соединении контура и источника тока (рис 1а).

Мы знаем, что такая цепь оказывает переменному току реактивное сопротивление, равное:

Реактивное сопротивление контура

где RL— активное сопротивление катушки индуктивности в ом;

ωL,-индуктивное сопротивление катушки индуктивности в ом;

1/ωC-емкостное сопротивление конденсатора в ом.

Активное сопротивление катушки RL практически очень мало изменяется при изменении частоты (если пренебречь поверхностным эффектом). Индуктивное и емкостное сопротивления в очень сильной степени зависят от частоты, а именно: индуктивное сопротивление ωL увеличивается прямо пропорционально частоте тока, а емкостное сопротивление 1/ωC уменьшается при повышении частоты тока, т. е. оно связано с частотой тока обратно пропорциональной зависимостью.

Отсюда непосредственно следует, что реактивное сопротивление последовательного колебательного контура также зависит от частоты, и колебательный контур будет оказывать токам разных частот неодинаковое сопротивление.

Если мы будем измерять реактивное сопротивление колебательного контура при различных частотах, то обнаружим, что в области низких частот сопротивление последовательного контура очень велико; при увеличении частоты оно уменьшается до некоторого предела, а затем начинает снова возрастать.

Читайте также:  Блок питания 12 вольт постоянного тока 30а 220

Объясняется это тем, что в области низких частот ток испытывает большое сопротивление со стороны конденсатора, при увеличении же частоты начинает действовать индуктивное сопротивление, компенсирующее действие емкостного сопротивления.

При некоторой частоте индуктивное сопротивление становится равным емкостному, т. е.

rezonans-2

Они будут взаимно компенсировать друг друга и общее реактивное сопротивление контура станет равным нулю:

rezonans-3

При этом реактивное сопротивление последовательного колебательного контура будет равно только его активному сопротивлению, так как

Сопротивление цепи при резонансе

При дальнейшем повышении частоты ток будет испытывать все большее и большее сопротивление со стороны индуктивности катушки, при одновременном уменьшении компенсирующего действия емкостного сопротивления. Поэтому реактивное сопротивление контура начнет снова возрастать.

На рисунке 2а приведена кривая, показывающая изменение реактивного сопротивления последовательного колебательного контура при изменении частоты тока.

Кривые резонанса

Рисунок 2. Резонанс напряжений. а) зависимость изменения полного сопротивления от частоты; б) зависимость реактивного сопротивления от активного сопротивления контура; в) кривые резонанаса.

Частота тока, при которой сопротивление колебательного контура делается наименьшим, называется частотой резонанса или резонансной частотой колебательного контура.

При резонансной частоте имеет место равенство:

Частота резонанса

пользуясь которым, нетрудно определить частоту резонанса:

chastota-rezonansa-6(1)

Единицами в этих формулах служат герцы, генри и фарады.

Из формулы (1) видно, что чем меньше величины емкости и самоиндукции колебательного контура, тем больше будет его резонансная частота.

Величина активного сопротивления RL не влияет на резонансную частоту, однако от нее зависит характер изменения Z. На рисунке 2б приведен ряд графиков изменения реактивного сопротивления колебательного контура при одних и тех же величинах L и С, но при разных RL. Из этого рисунка видно, что чем больше активное сопротивление последовательного колебательного контура, тем тупее становится кривая изменения реактивного сопротивления.

Теперь рассмотрим, как будет изменяться сила тока в колебательном контуре, если мы будем изменять частоту тока. При этом мы будем считать, что напряжение, развиваемое источником переменного тока, остается все время одним и тем же.

Так как источник тока включен последовательно с L и С контура, то сила тока, протекающего через катушку и конденсатор, будет тем больше, чем меньше реактивное сопротивление колебательного контура в целом, так как

tok-v-konture-7

Отсюда непосредственно следует, что при резонансе сила тока в колебательном контуре будет наибольшей. Величина тока при резонансе будет зависеть от напряжения источника переменного тока и от активного сопротивления контура:

tok-pri-rezonanse-8

На рисунке 2г изображен ряд графиков изменения силы тока в последовательном колебательном контуре при изменении частоты тока так называемых кривых резонанса. Из этого рисунка видно, что чем больше активное сопротивление контура, тем тупее кривая резонанса.

При резонансе сила тока может достигать огромных значений при сравнительно малой внешней ЭДС. Поэтому падения напряжения на индуктивном и емкостном сопротивлениях контура, т. е. на катушке и на конденсаторе, могут достигать очень больших величии и далеко превосходить величину внешнего напряжения.

Последнее утверждение на первый взгляд может показаться несколько странным, однако нужно помнить, что фазы напряжений на емкостном и индуктивном сопротивлениях сдвинуты друг относительно друга на 180°, т. е. мгновенные значения напряжений на катушке и конденсаторе направлены всегда в противоположные стороны. Вследствие этого большие напряжения, существующие при резонансе внутри контура на его катушке и конденсаторе, ничем не обнаруживают себя вне контура, взаимно компенсируя друг друга.

Разобранный нами случай последовательного резонанса называется резонансом напряжений, так как в этом случае в момент резонанса имеет место резкое увеличение напряжения на L и С колебательного контура.

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Источник



Зависимости резонансного тока последовательного контура от частоты

Величина тока в последовательном контуре зависит от напряжения генератора и от сопротивления контура. Сопротивление контура складывается из емкостного, индуктивного и активного сопротивлений. Полное сопротивление в общем случае равно геометрической (векторной) сумме емкостного, индуктивного и активного сопротивлений.

Величина тока в последовательном контуре равна

Полное сопротивление контура (импеданс) – непостоянная величина, так как емкостное сопротивление конденсатора и индуктивное сопротивление катушки зависят от частоты (рис.6). При резонансе полное сопротивление контура равноактивному сопротивлению R контура. При частоте ниже резонансной преобладает емкостное сопротивление, полное сопротивление контура носит емкостный характер и контур эквивалентен конденсатору. При частоте выше резонансной преобладает индуктивное сопротивление, и полное сопротивление контура имеет индуктивный характер. При частоте выше резонансной последовательный контур эквивалентен катушке индуктивности. Контур также обладает активным сопротивлением R (сопротивлением потерь), величину которого в пределах рабочего диапазона частот контура можно считать неизменной. Реактивное сопротивление контура при разных частотах различно, поэтому угол фазового сдвига между напряжением питающего генератора и током в контуре зависит от частоты. При изменении частоты генератора от нуля до максимальной, угол фазового сдвига изменяется от – 90 градусов до + 90 градусов. При резонансной частоте фазовый сдвиг равен нулю.

Кривая, показывающая зависимость угла фазового сдвига между напряжением питающего генератора и током в контуре, называется фазочастотной характеристикой контура (рис.7).

Рис.7. Фазо-частотная характеристика последовательного колебательного контура

Таким образом, при изменении частоты питающего тока изменяются величина и характер полного сопротивления последовательного контура. Поэтому амплитуда тока в контуре зависит от частоты генератора. При резонансе сопротивление контура имеет наименьшее значение и ток максимальный:

Читайте также:  Периодичность поверки трансформаторов тока до 1000в

При уменьшении и увеличении частоты сопротивление контура возрастает, а ток уменьшается. Одновременно с этим увеличивается фазовый сдвиг между напряжением и током.

Кривая, показывающая зависимость тока в контуре от частоты генератора вблизи резонанса, называется резонансной кривой.

Форма резонансной кривой бывает различной и определяется добротностью контура, т. е. соотношением его активного и волнового сопротивлений. Форма резонансной кривой зависит не только от величины активного сопротивления контура, но и от соотношения между индуктивностью L и емкостью С контура, т. е. от характеристического сопротивления контура. Как было показано ранее, соотношение между характеристическим и активным сопротивлениями контура определяет добротность контура:

Таким образом, форма резонансной кривой последовательного контура зависит от добротности контура: чем выше добротность контура, тем острее резонансная кривая.

При изменении частоты питающего генератора изменяется напряжение на элементах контура из-за изменяющегося тока через контур.

Практический интерес представляет зависимость напряжения на конденсаторе от частоты генератора. Напряжение на конденсаторе пропорционально току в контуре и емкостному сопротивлению конденсатора:

Ток в контуре вблизи резонанса резко изменяется при изменении частоты, сопротивление конденсатора при этом изменяется относительно мало. Если пренебречь этим изменением, то напряжение на конденсаторе при резонансе можно считать максимальным. Если бы емкостное сопротивление оставалось неизменным, то кривая, показывающая зависимость напряжения на конденсаторе от частоты генератора, была бы точно подобна резонансной кривой тока. Но так как емкостное сопротивление конденсатора при повышении частоты уменьшается, то резонансная кривая напряжения оказывается расположенной несимметрично относительно кривой тока (рис.8).

Рис.8.Зависимость напряжения на конденсаторе последовательного контура от частоты

Источник

Исследование последовательного колебательного контура

Цель работы: исследование зависимости силы тока в последовательном колебательном контуре от частоты внешнего источника э. д.с., определение резонансной частоты, добротности и полосы пропускания.

Приборы и принадлежности: лабораторный макет, генератор низкой частоты GAG-810, вольтметр.

Элементы теории

Пусть в электрической цепи (рис. 1), состоящей из последовательно соединенных сопротивления R, индуктивности L и ёмкости С известен ток:

. (1)

Рис. 1. Электрическая цепь последовательного колебательного контура

Найдем напряжения на всех элементах и входе цепи. По второму закону Кирхгофа

, (2)

, (3)

, (4)

. (5)

Как видно из полученных выражений напряжение на сопротивлении имеет туже начальную фазу, что и ток (совпадает по фазе). Напряжение на индуктивности сдвинуто относительно тока на угол (опережает по фазе на ). Напряжение на ёмкости сдвинуто относительно тока на угол (отстает по фазе на ).

Сложив эти три напряжения найдем напряжение на входе цепи:

(6)

Сделав замену: , и воспользовавшись тем, что получим:

, (7)

, (8)

. (9)

Таким образом, входное напряжение цепи представляет собой синусоидальную функцию времени той же круговой частоты и сдвинутую по фазе относительно тока на угол .

Амплитуды напряжений на элементах равны:

, (10)

, (11)

, (12)

. (13)

Отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока называется полным сопротивлением цепи и обозначается буквой

. (14)

Величина обозначается X и называется реактивным сопротивлением цепи:

, (15)

Где и называются соответственно индуктивным и емкостным сопротивлениями.

При анализе цепей синусоидального тока приходится алгебраически суммировать гармонические функции времени одинаковой частоты, но с разными амплитудами и начальными фазами. Значительно проще такая задача решается с помощью векторных диаграмм.

В прямоугольной системе координат рассмотрим вектор длинной и образующий с осью угол (рис. 2). Пусть этот вектор равномерно вращается с круговой частотой относительно точки . Тогда проекция этого вектора на ось в произвольный момент времени равна , т. е. является мгновенным значением тока .

Рис. 2. Векторная диаграмма синусоидального тока

xАналогичным образом изобразим в виде вращающихся векторов напряжения на сопротивлении, индуктивности и ёмкости рассматриваемой цепи (рис. 3), где проекции векторов на ось представляют собой мгновенные значения соответствующих напряжений. Вместо того, чтобы вращать векторы с круговой частотой , можно предположить, что они неподвижны, а оси координат вращаются с круговой частотой . В этом случае получаем картину из трех неподвижных векторов, где вектор описывающий напряжение на сопротивлении имеет длину и образует угол с горизонтальной осью , вектор описывающий напряжение на индуктивности имеет длину и образует угол и вектор описывающий напряжение на ёмкости имеет длину и образует угол . Входное напряжение цепи представляется вектором длинной , образующим с горизонтальной осью угол . Проекция этого вектора на ось — есть мгновенное значение входного напряжения. Очевидно, вектор, описывающий входное напряжение равен сумме векторов описывающих напряжения на сопротивлении, индуктивности и ёмкости, т. е. операция сложения гармонических функций времени заменяется операцией нахождения векторной суммы.

Рис. 3. Напряжения на сопротивлении, индуктивности и ёмкости последовательного колебательного контура

Рассмотрим процессы в электрической цепи при изменении круговой частоты от До .

Круговая частота при которой реактивное сопротивление цепи становится равной нулю называется резонансной круговой частотой и обозначается , А сам режим работы цепи называется резонансом

, (16)

. (17)

При резонансе ток цепи совпадает по фазе с входным напряжением. Резонанса можно достичь, изменяя либо частоту напряжения источника, либо параметры цепи — индуктивность или емкость.

Режим цепи на резонансной частоте называется резонансным, соответственно режим при называется дорезонансным, при послерезонансным. Реактивное сопротивление в дорезонансном режиме носит емкостной характер (ХCL), в послерезонасном режиме индуктивный характер (ХLC). На рис. 4 и 5 приведены графики зависимости реактивного сопротивления от частоты и сдвига фаз между входным напряжением и током.

Читайте также:  Использование электрического тока в быту реферат

Из (8) – (14) получим зависимости амплитуд тока и напряжений на элементах от частоты:

, (18)

, (19)

, (20)

. (21)

Рис. 4. Зависимость реактивного сопротивления от частоты

Рис. 5. График зависимости сдвига фаз от частоты

На рис. 6 и 7 приведены графики этих зависимостей.

Рис. 6. Зависимость амплитуды тока от частоты

Рис.7. Графики зависимостей амплитуд напряжений на элементах от частоты

На резонансной частоте амплитуды тока и напряжения на сопротивлении достигает своих максимальных значений равных и соответственно, амплитуды напряжений на индуктивности и ёмкости становятся равны друг другу

, (22)

Поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называется резонансом напряжений. Мгновенное напряжение на сопротивлении R становится равным входному, а сумма напряжений на L и С равна нулю.

Величины индуктивного и емкостного сопротивлений на резонансной частоте:

. (23)

Величина называется Характеристическим сопротивлением цепи.

Отношение амплитуды напряжения на индуктивности или ёмкости к амплитуде напряжения на входе цепи при резонансе

(24)

Называется добротностью контура. Добротность показывает во сколько раз напряжение на индуктивности или на ёмкости при резонансе больше, чем напряжение на входе цепи.

Для разъяснения понятия добротности преобразуем выражение для амплитуды тока

. (25)

Выясним влияние добротности цепи на форму частотной зависимости . Для удобства сравнения будем рассматривать приведенные частотные зависимости

, (26)

Где амплитуда тока на резонансе.

На рис. 8 представлены две частотные зависимости (резонансные кривые), полученные при разных значениях (Q2=10, Q1=2).

Чем больше , тем острее резонансная кривая, тем лучше «избирательные свойства» цепи. Для оценки избирательных свойств цепи вводится условное понятие ширины резонансной кривой или полосы пропускания контура, которую определяют как разность частот, между которыми отношение . Тогда, из (21) получаем неравенство . Решением этого неравенства относительно частоты является диапазон , где — нижняя частота полосы пропускания, а — верхняя частота полосы пропускания. Ширина полосы пропускания

. (27)

Рис. 8. Резонансные кривые, полученные при разных значениях добротности

Т. е. чем выше добротность цепи, тем меньше полоса пропускания и лучше избирательные свойства.

В заключении рассмотрим энергетические процессы, происходящие в цепи при резонансе. Для этого найдем сумму энергий магнитного и электрического полей цепи

. (28)

Воспользовавшись (1),(5) и (14) получим

, (29)

Т. е. сумма энергий магнитного и электрических полей не изменяется во времени. Уменьшение энергии электрического поля сопровождается увеличением энергии магнитного поля и наоборот. Таким образом, наблюдается непрерывный переход энергии из электрического поля в магнитное и наоборот. Энергия, поступающая в цепь от источника питания в любой момент времени целиком переходит в тепло. Поэтому для источника питания вся цепь на резонансе эквивалентна одному активному сопротивлению .

Описание лабораторной установки

На рис. 9 изображена схема лабораторной установки, в состав которой входят: генератор низкой частоты GAG-810, лабораторный стенд и вольтметр.

Генератор низкой частоты вырабатывает синусоидальное напряжение с регулируемой частотой и амплитудой. Переключателем SA1 можно изменять величину индуктивности и емкости контура. С помощью вольтметра производится измерение действующего значения напряжения на элементах цепи (действующее значение синусоидального напряжения равно амплитудному деленному на ).

Рис. 9. Схема лабораторной установки

Порядок выполнения работы

1. Произвести настройку генератора:

1.1 Переключатель ATTENUATOR поставить в положение 0 dB.

1.2 Переключатель WAFE FORM поставить в положение «

» – синусоидальная волна (кнопка отжата).

1.3 Переключатель диапазона частоты генерации FREQ. RANGE поставить в положение .

1.4 Подключить выход генератора к контрольным точкам 1, 2 лабораторного стенда.

1.5 Подключить вольтметр к контрольным точкам 1, 2 лабораторного стенда.

1.6 Включив генератор, регулятором АMPLITUDE выставить выходное напряжение генератора 10 В.

2. Подключить вольтметр к контрольным точкам 5, 2 лабораторного стенда.

3. Переключатель SA1 поставить в положение «I».

4. Плавно изменяя частоту генератора от 0,3 до 5 кГц с шагом 0,1 кГц получить зависимость напряжения на сопротивлении R1 от частоты. Результаты измерений занести в таблицу.

5. Изменяя частоту генератора найти максимальное значение напряжения на сопротивлении R1 (UR1Max).

6. По полученным данным построить зависимость от частоты.

7. По графику определить полосу пропускания контура и по формуле (27) рассчитать добротность Q.

8. Подключив вольтметр к контрольным точкам 3, 5 измерить напряжение на конденсаторе С1 при резонансе.

9. Рассчитать добротность по формуле (24) и сравнить с результатом, полученным в пункте 7.

10. Переключатель SA1 поставить в положение «II».

11. Повторить пп. 4-9. Изменять частоту генератора в пределах от 0,1 до 5 кГц.

Примечание: в пункте 8 измерить напряжение на конденсаторе С2, подключив вольтметр к контрольным точкам 4, 5.

F, КГц

Вопросы для самоконтроля

1. Как связаны между собой мгновенные значения напряжений и токов на элементах R, L, C?

2. Что называется резонансом электрической цепи?

3. Что называется добротностью последовательного колебательного контура?

4. Получите зависимости амплитуд тока и напряжений на элементах последовательного колебательного контура от частоты.

5. Нарисуйте зависимость амплитуды тока от частоты последовательного колебательного контура.

6. Что называется полосой пропускания и как она связана с добротностью контура?

Источник